Devoir n°2
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Lundi 2 décembre 2020
Terminale Spé Maths 1

DEVOIR (90 min)

Calculatrice autorisée

 

Exercice 1 (14 points) 

Partie A 

Soit g la fonction définie sur R par :             g(x) = x3 + 3x + 16. 

1°) Etudier les variations de g. 

2°) Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution a sur R, en donner une valeur approchée à 10-2 près. 

3°) En déduire le signe de g(x) en fonction de x.

 Partie B 

Soit f la fonction définie sur R par :

            f(0) = 0            et         f(x) =  si x ¹ 0.

 La courbe (Cf) représentative de f et la droite (d)

d’équation y = x sont représentées ci-contre : 

1°) Valider ou réfuter, en justifiant, chacune des trois conjectures suivantes :

a)      L’axe des ordonnées est une asymptote verticale à la courbe (Cf).

b)      La droite (d) est une asymptote oblique à la courbe en +¥.
C’est-à-dire que :
.

c)      Pour tout x ¹ 0, on a : f(x) < x. 

2°) La fonction f est-elle continue en 0 ? 

3°) Déterminer les limites de f en –¥ et en +¥. 

4°) Montrer que pour tout x ¹ 0, on a :          f’(x) = .

(On ne demande pas la dérivabilité en 0)

 5°) En déduire les variations de f et dresser son tableau de variation.

 6°) Montrer qu’il existe deux points de (Cf) où la tangente à la courbe est parallèle à la droite (d).

(On donnera juste l’abscisse de ces deux points) 

  

Exercice 2 (6 points)

Soit f la fonction définie sur R par :             

 1°) Montrer que f est continue sur R.

 2°) f est-elle dérivable en –1 et en 0 ?

Déterminer les équations des tangentes (ou demi-tangentes) en ces points.