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 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

 ÉPREUVE DE SPÉCIALITÉ

 SESSION mars 2021

 

MATHÉMATIQUES  

          Durée de l’épreuve : 4 heures           

  

L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.

L’usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège », est autorisé.  

 

Exercice 1 – ( 5 points ) 

Dans un zoo, l’unique activité d’un manchot est l’utilisation d’un bassin aquatique équipé d’un toboggan et d’un plongeoir.

On a observé que si un manchot choisit le toboggan, la probabilité qu’il le reprenne est 0,3. Si un manchot choisit le plongeoir, la probabilité qu’il le reprenne est 0,8.

Lors du premier passage, les deux équipements ont la même probabilité d’être choisis.

Pour tout entier naturel  non nul, on considère l’événement :

           : « le manchot utilise le toboggan lors de son -ième passage. »

           : « le manchot utilise le plongeoir lors de son -ième passage. »

On considère alors la suite  définie pour tout entier naturel  par :  , où  est la probabilité de l’événement . 

1)      a)   Donner les valeurs des probabilités  et , puis des probabilités conditionnelles  

      et  .

b)  Calculer  .

c)   Montrer que .  

       2)    a)   Recopier et compléter l’arbre suivant :

b)    Démontrer que pour tout entier , .

c)    A l’aide de la calculatrice, émettre une conjecture concernant la limite de la suite

3)      On considère la suite  définie pour tout entier naturel  par :   .

a)       Démontrer que  est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

b)      Exprimer  en fonction de . En déduire l’expression de  en fonction de .

c)     Calculer la limite de la suite . Ce résultat permet-il de valider la conjecture émise en 2) c) ?

 

 

Exercice 2 –  ( 6 points ) 

Partie A

 Soit    la fonction définie sur  par  

1)    Étudier les variations de  sur  et préciser ses limites en  et en .

2)    a)    Montrer que l’équation  admet une unique solution sur .

       On note  cette solution.

b)   À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude  de .

3)    Déterminer le signe de  suivant les valeurs de .

4)    Montrer l’égalité : .  

Partie B 

On considère la fonction  définie et dérivable sur  par  .

On note  la fonction dérivée de  sur .  

1)    Montrer que, pour tout  de ,  .

2)    En déduire les variations de  sur  et indiquer pour quelle valeur de ,  admet un extremum. ( le calcul des limites en 0 et + n’est pas demandé ) 

Partie C 

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé , on note :

·       la courbe représentative de la fonction ln (logarithme népérien) ;

·       le point de coordonnées ;

·       le point de  d’abscisse  appartenant à  

1)    Montrer que la distance  est donnée par .

2)    Soit  la fonction définie sur  par .

a)     Montrer que les fonctions  et  ont les mêmes variations sur .

b)    Montrer que la distance  est minimale en un point de , noté , dont on précisera les coordonnées.

c)       Montrer que .

 

 

Exercice 3 – ( 6 points )

 Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère les points , ,  et .

 1)    a)    Montrer que le triangle  est rectangle en .

b)    Calculer l’aire de ce triangle .  

2)    a)    Montrer que le vecteur  est un vecteur normal au plan .

b)    Déterminer une équation cartésienne du plan .  

3)    Déterminer une représentation paramétrique de la droite  orthogonale au plan  et passant par .  

4)    Déterminer les coordonnées du point , intersection de la droite  et du plan .  

5)    Déterminer la distance du point  au plan .  

6)    Déterminer le volume du tétraèdre .  

7)    a)    Calculer les longueurs  et , puis calculer .

b)    En déduire une valeur approchée au dixième de degré près de l’angle .

  

 

Exercice 4 – ( 3 points )

 Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.

Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

 

1

La fonction  est définie sur  par  , avec  et  deux réels positifs.

La courbe représentant la fonction  admet pour asymptote en , la droite d’équation :

 

a)

b)

 

c)

d)

2

La fonction  est définie sur  par .

Sa fonction dérivée  est définie sur  par :

 

a)

b)

 

c)

d)

3

La fonction  est définie sur  par .

Cette fonction est :

 

a)

convexe sur

b)

convexe sur

 

c)

convexe sur

d)

concave sur

4

Une classe compte 20 garçons et 10 filles. A chaque cours de mathématiques, le professeur interroge au hasard un élève de la classe, sans se rappeler quels élèves il a déjà interrogés.

La probabilité que sur 5 jours consécutifs, 4 filles exactement soient interrogées est environ :

 

a)

0,008

b)

0,041

 

c)

0,156

d)

0,996

5

Une urne contient 200 boules dont 50 sont rouges. On tire successivement et avec remise 10 boules de cette urne. La probabilité d’obtenir entre 3 et 5 boules rouges (inclus) est environ :

 

a)

0,204

b)

0,455

 

c)

0,730

d)

0,980

6

Lorsqu’on représente un schéma de Bernoulli de paramètres n = 20 et p = 0,3 par un arbre, le nombre de chemins menant à exactement 5 succès est :

 

a)

100

b)

15504

 

c)

0,179

d)

6