Devoir n°2
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Mardi 09 octobre 2018
Term S3

DEVOIR de Mathématiques (1h50)
(Calculatrice autorisée)

 

Exercice 1 (5 points)

 1°) Pour tout nombre complexe z, on note : P(z) = 8 z 3 – 12(2 – i) z 2 + 50 z – 75(2 – i).

a)      Montrer que P admet deux racines imaginaires pures que l’on déterminera.

b)      Déterminer les complexes a et b tels que, pour tout z : P(z) = (4z 2 + 25) (az + b).

c)      On déduire toutes les racines complexes de P.

 2°) On note A, B et C les points d’affixes respectives : zA = –  i, zB =  i et zC = 3 –  i.

a)   Placer ces trois points dans le plan complexe (O ; , ).

b)      Déterminer la nature du triangle ABC.

 

Exercice 2 (3 points)

 Soient  et  deux vecteurs du plan complexe (O ; , ) d’affixes respectives :

z = x + iy et z’ = x’ + iy’,        où x, y, x’ et y’ sont des réels.

 1°) Ecrire le produit  sous forme algébrique.

 2°) A quelle propriété sur  et  équivaut la propriété :  est réel ?

 3°) A quelle propriété sur  et  équivaut la propriété :  est imaginaire pur ?

 

Exercice 3 (8 points)

 On considère la suite (un) définie par u0 = –5 et pour tout entier naturel :            un+1 = .

 1°) On a tracé ci-dessous la courbe (C) d’équation : y = .

Construire sur l’axe des abscisses les points d’abscisse u0, u1 et u2 en expliquant la méthode utilisée.

 

 

 

 

  

2°) Calculer u1 et u2.

 3°) Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel :       –5 £ un £ un+1 £ 3.

 4°) En déduire que la suite u est convergente.

 5°) Soit  la limite de la suite u, montrer que  est solution de l’équation :             = x.

 6°) En déduire la valeur de .

 7°) Soit p un entier naturel, on souhaite savoir à partir de quel entier n on a :        |un – 3| < 10p.

Ecrire un algorithme permettant de trouver la valeur plus petite valeur de n connaissant la valeur de p.

 

Exercice 4 (4 points)

 Déterminer les limites suivantes :                 1°)                         2°)