Devoir n°1
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Mercredi 26 septembre 2018
Term S

 

DEVOIR de Mathématiques (1h50)
(Calculatrice autorisée)

 

Exercice 1 (9 points)

 Le directeur d’une réserve marine a recensé 3 000 cétacés dans cette réserve au 1er juin 2017. Il est inquiet car il sait que le classement de la zone en « réserve marine » ne sera pas reconduit si le nombre de cétacés de cette réserve descend en dessous de 2 000.

 Une étude lui permet d’élaborer un modèle selon lequel, chaque année :

• entre le 1er juin et le 31 octobre, 80 cétacés arrivent dans la réserve marine ;

• entre le 1er novembre et le 31 mai, la réserve subit une baisse de 5% de son effectif par rapport à celui du 31 octobre qui précède.

 On modélise l’évolution du nombre de cétacés par une suite (un). Selon ce modèle, pour tout entier naturel n, un désigne le nombre de cétacés au 1er juin de l’année 2017 + n.

On a donc u0 = 3000.

 1. Justifier que u1 = 2 926.

 2. Justifier que, pour tout entier naturel n, un+1 = 0,95un + 76.

 3. À l’aide d’un tableur, on a calculé les 8 premiers termes de la suite (un). Le directeur a configuré le format des cellules pour que ne soient affichés que des nombres arrondis à l’unité.

 

A

B

C

D

E

F

G

H

I

1

n

0

1

2

3

4

5

6

7

2

un

3 000

2 926

2 856

2 789

2 725

2 665

2 608

2 553

 Quelle formule peut-on entrer dans la cellule C2 afin d’obtenir, par recopie vers la droite, les termes de la suite (un) ?

 4.         a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, un ³ 1 520.

b. Démontrer que la suite (un) est décroissante.

 5. On désigne par (vn) la suite définie par, pour tout entier naturel n, vn = un − 1 520.

a. Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,95 dont on précisera le premier terme.

b. En déduire que, pour tout entier naturel n, un = 1480×0,95n + 1 520.

c. Conjecturer la limite de la suite (un).

 6. Recopier et compléter l’algorithme suivant pour déterminer l’année à partir de laquelle le nombre de cétacés présents dans la réserve marine sera inférieur à 2 000.

n 0

u 3 000

Tant que . . .

n . . .

u . . .

Fin de Tant que

Zone de Texte: n ← 0
u ← 3 000
Tant que . . .
n ←. . .
u ←. . .
Fin de Tant que

 

 

 

 

 

  

La notation « ← » correspond à une affectation de valeur,

ainsi « n ←0 » signifie « Affecter à n la valeur 0 ».

 7. La réserve marine fermera-t-elle un jour ?

Si oui, déterminer en justifiant à l’aide de la calculatrice, l’année de la fermeture.

  

Exercice 2 (4 points)

 Pour tout entier naturel n, on note Pn et Qn les propositions suivantes :

bulletP: « L’entier 10n – 1 est divisible par 9 »
bulletQ: « L’entier 10n + 1 est divisible par 9 »

 1°) Démontrer que les propriétés Pn et Qn sont héréditaires pour tout entier naturel n.

 2°) Les propriétés Pn et Qn sont-elles vraies pour tout entier naturel n ? Justifier.

  

Exercice 3 (7 points)

 1°) Soient les nombres complexes : z = 2 – i  et  z’ = 1 + 3i, écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique :

a)      z1 = z2 + z’2.

b)   z2 = .

c)      z3 = .

 2°) Résoudre dans C les équations suivantes (on donnera les résultats sous forme algébrique) :

a)      (E1) : (1 + i) z + 1 = 2z + i – 1.

b)      (E2) : 3z2 + 2z + 1 = 0.

c)   (E3) : z2 + 4 = 3.