Devoir n°7
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Mardi 24 mars 2015
 Term S

DEVOIR de Mathématiques (1h50)
(Calculatrice autorisée)

  

Exercice 1 (8 points)

 Dans une kermesse un organisateur de jeux dispose de 2 roues de 20 cases chacune.

La roue A comporte 18 cases noires et 2 cases rouges.

La roue B comporte 16 cases noires et 4 cases rouges.

Lors du lancer d’une roue toutes les cases ont la même probabilité d’être obtenues.

 La règle du jeu est la suivante :

·      Le joueur mise 1 € et lance la roue A.

·      S’il obtient une case rouge, alors il lance la roue B, note la couleur de la case obtenue et la partie s’arrête.

·      S’il obtient une case noire, alors il relance la roue A, note la couleur de la case obtenue et la partie s’arrête.

 1. Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.

 2. Soient E et F les évènements :

E : « à l’issue de la partie, les 2 cases obtenues sont rouges »

F : « à l’issue de la partie, une seule des deux cases est rouge ».

Montrer que p(E)= 0,02 et p(F) = 0,17.

 3. Si les 2 cases obtenues sont rouges le joueur reçoit 10 € ; si une seule des cases est rouge le joueur reçoit 2 € ; sinon il ne reçoit rien.

X désigne la variable aléatoire égale au gain algébrique en euros du joueur

(rappel le joueur mise 1 €).

a. Déterminer la loi de probabilité de X.

b. Calculer l’espérance mathématique de X et en donner une interprétation.

 4. Le joueur décide de jouer n parties consécutives et indépendantes (n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2)

a. Démontrer que la probabilité pn qu’il lance au moins une fois la roue B est telle que :

pn = 1 − (0,9)n .

b. Justifier que la suite de terme général pn est convergente et préciser sa limite.

c. Quelle est la plus petite valeur de l’entier n pour laquelle pn > 0,9 ?

 

  

Exercice 2 (12 points)

 Soit f une fonction définie pour tout nombre réel x par :

f(x) = (1 + x) ex .

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O,) d’unité graphique 1 cm.

 1.   a.   Étudier le signe de f(x) sur R.

      b.   Déterminer la limite de la fonction f en −∞.

            Déterminer la limite de la fonction f en +∞.

      c.   On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f sur R.

            Calculer, pour tout nombre réel x, f ′(x).

            En déduire les variations de la fonction f sur R.

      d.   Tracer la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [−2 ; 5].

 2. On note (In) la suite définie pour tout entier naturel n par :

In = .

Dans cette question, on ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de In en fonction de n.

      a.   Montrer que, pour tout nÎN: In ³ 0.

      b.   Montrer que la suite (In) est croissante.

 3.   a.   Déterminer les réels a et b tels que la fonction F définie sur R par :      F(x) = (ax + b) ex

            soit une primitive de f sur R.

      b.   En déduire l’expression de In en fonction de n.

      c.   Déterminer : .

      d.   Donner une interprétation graphique de cette limite.

 4. Déterminer αÎR tel que :  = e.

Ce calcul intégral correspond-il à un calcul d’aire ?