Devoir n°6
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Jeudi 12 février 2015
Term S

DEVOIR de Mathématiques (1h50)
(Calculatrice autorisée)

 

Exercice 1 (7 points)

 Dans un lycée, toutes les semaines, on fait appel à un technicien pour l’entretien de la photocopieuse.

On a pu constater que :

·      le technicien intervient la première semaine ;

·      s’il intervient la semaine n, alors la probabilité qu’il intervienne la semaine n + 1 est 0,75 ;

·      s’il n’intervient pas la semaine n, alors la probabilité qu’il intervienne la semaine n + 1 est 0,1.

On note :

·      An l’événement « Le technicien intervient la semaine n » ;

·      pn la probabilité de cet événement 

  1. Quelle est la valeur de p?
  2. Exprimer p(An+1ÇAn) puis p(An+1Ç) en fonction de pn.
  3. En déduire l’expression de pn+1 en fonction de pn.
  4. u est la suite définie pour tout entier naturel n non nul par un = pn.
    Démontrer que u est une suite géométrique et préciser sa raison.
    En déduire l’expression de un puis de pn en fonction de n.
     
  5. Au bout de combien de semaines la probabilité que le technicien intervienne deviendra-t-elle inférieure à 0,5 ?
    Cette probabilité peut-elle être inférieure à 0,25 ? Justifier.

  Zone de Texte: Figure à compléter dans la suite de l’exercice
 

  Exercice 2 (13 points)

 Pour tout entier naturel n,

on considère la fonction fn

définie sur ]0 ; +∞[ par :

 fn(x) = − n x x ln x.

 On note (Cn) la courbe représentative de la fonction fn,

dans un repère orthonormal (O, )

Les courbes (C0) , (C1) et (C2) représentatives des fonctions f0, f1 et f2 sont données ci-dessus.

Partie A : Étude de la fonction f0 définie sur ]0 ; +∞[ par f0(x) = − x lnx.

1. On suppose connu le résultat suivant : , démontrer alors que : .

En déduire la limite de f0 en 0. 

2. Déterminer la limite de f0 en +∞. 

3. Étudier les variations de la fonction f0 sur ]0 ; +∞[. 

Partie B : Étude de certaines propriétés de la fonction fn, n entier naturel. 

Soit n un entier naturel.

1. Démontrer que pour xÎ]0 ; +∞[,  fn(x) = − n − 1 − ln x  fn désigne la fonction dérivée de fn

2. a. Démontrer que la courbe (Cn) admet en un unique point An d’abscisse en−1 une tangente parallèle à l’axe des abscisses.

b. Prouver que le point An appartient à la droite D d’équation y = x.

c. Placer sur la figure les points A0, A1, A2

3. a. Démontrer que la courbe (Cn) coupe l’axe des abscisses en un unique point, noté Bn, dont l’abscisse est en.

b. Démontrer que la tangente à (Cn) au point Bn a un coefficient directeur indépendant de l’entier n.

c. Placer sur la figure les points B0, B1, B2

4. a. Montrer que le coefficient directeur de la droite (AnBn) est indépendant de l’entier n.

b. Quelle est la nature du quadrilatère A0A1B1B0 ?

c. calculer l’aire du quadrilatère A0A1B1B0

Ne pas oublier de rendre la figure complétée avec la copie !