Devoir n°3
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Jeudi 13 novembre 2014 
 Term S

Devoir de Mathématiques (1h50)
(Calculatrice autorisée)

 

Exercice 1 (10 points)

 On note C l’ensemble des nombres complexes.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (O ; ). On prendra comme unité 2 cm sur chaque axe.

Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et complété au fur et à mesure des questions.

On considère la fonction f qui à tout nombre complexe z associe

f(z)= z2 + 2z + 9.

 1. Calculer l’image de –1 + i par la fonction f.

 2. Résoudre dans C l’équation f(z) = 5.

Écrire sous forme trigonométrique les solutions de cette équation.

Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas, les points A et B dont l’affixe est solution de l’équation (A étant le point dont l’affixe a une partie imaginaire positive).

On laissera les traits de construction apparents.

 3. Soit l un nombre réel. On considère l’équation f(z)= l¸ d’inconnue z.

Déterminer l’ensemble des valeurs de l¸ pour lesquelles l’équation f(z) = l¸ admet deux solutions complexes conjuguées.

 4. Soit (F) l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe z vérifie

|f(z) − 8| = 3.

 Prouver que (F) est le cercle de centre W(−1 ; 0) et de rayon .

Tracer (F) sur le graphique.

 5. Soit z un nombre complexe, tel que z = x +iy x et y sont des nombres réels.

 a. Montrer que la forme algébrique de f(z) est

x2y2 +2x + 9 + i(2xy + 2y).

b. On note (E) l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe z est telle que f (z) soit un nombre réel.

Montrer que (E) est la réunion de deux droites D1 et D2 dont on précisera les équations.

Compléter le graphique de l’annexe en traçant ces droites.

 6. Déterminer les coordonnées des points d’intersection des ensembles (E) et (F).

  

Exercice 2 (10 points)

 Soit la suite numérique (un) définie sur l’ensemble des entiers naturels N par

 u0 = 2, et pour tout entier naturel n, un+1 = un + 3 × 0,5n.

 1. a. Recopier et, à l’aide de la calculatrice, compléter le tableau des valeurs de la suite (un) approchées à 10−2 près :

n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

un

2

 

 

 

 

 

 

 

 

b. D’après ce tableau, énoncer une conjecture sur le sens de variation de la suite (un).

 2. a. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n non nul on a

un ³  × 0,5n.

b. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, un+1un £ 0.

c. Démontrer que la suite (un) est convergente.

 3. On se propose, dans cette question de déterminer la limite de la suite (un).

Soit (vn) la suite définie sur N par vn = un − 10 × 0,5n.

a. Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison . On précisera le premier terme de la suite (vn).

b. En déduire, que pour tout entier naturel n,

un = −8 ×  + 10 × 0,5n.

c. Déterminer la limite de la suite (un).

 4. Recopier et compléter les lignes (1), (2) et (3) de l’algorithme suivant, afin qu’il affiche

la plus petite valeur de n telle que un £ 0,01.

Zone de Texte: Entrée :               n et u sont des nombres
Initialisation :     n prend la valeur 0
                            u prend la valeur 2
Traitement :        Tant que ...                          (1)
                            n prend la valeur ...              (2)
                            u prend la valeur ...              (3)
                            Fin Tant que
Sortie :                Afficher n