Devoir n°2
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Jeudi 16 octobre 2014
Term S

Devoir de Mathématiques (1h50)
(Calculatrice autorisée)

  

Exercice 1 (7,5 points)

 On considère le polynôme à variable complexe P défini par :

            P(z) = z4 – 6z3 + 24z2 – 18z + 63.

 1°) Démontrer que :  = P().

 2°) Calculer P(i). En déduire deux racines de P.

Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout complexe : P(z) = (z2 + 3)(az2 + bz + c).

 3°) Résoudre dans C l’équation : P(z) = 0.

 4°) Dans le plan complexe rapporté à un repère (O ; ) orthonormé, placer les points A, B, C et D d’affixes respectives zA = i, zB = –i, zC = 3 + 2i et

zD = , puis montrer que ces quatre points appartiennent à un même cercle de centre W d’affixe 3.

 5°) On note E le symétrique de D par rapport à l’origine du repère.

Calculer le module et un argument de .

En déduire la nature du triangle BEC.

 

Exercice 2 (3,5 points)

 À tout complexe z différent de (-1 + i), on associe le complexe Z défini par : .

On pose : z = x + iyxÎR et yÎR, et : Z = X + iYXÎR et YÎR.

 1°) Déterminer X et Y en fonction de x et y.

 2°) Démontrer que l’ensemble (E) des points M d’affixe z tels que Z soit réel est un cercle privé d’un point, dont on déterminera le centre et le rayon.

 3°) Déterminer l’ensemble (F) des points M d’affixe z tels que Z soit imaginaire pur.

  

Exercice 3 (9 points)

 La suite (un) est définie par : u0 = 1 et, pour tout nÎN, un+1 = un + n – 1.

1°) a) Démontrer que pour tout n ³ 3, un ³ 0.

       b) Démontrer que pour tout n ³ 4, un ³ n – 2.

       c) En déduire la limite de la suite (un).

 2°) On définit la suite (vn) par vn = 4un – 8n + 24.

       a) Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique décroissante dont on donnera la raison

            et le premier terme.

       b) Démontrer que pour tout nÎN, un = 7+ 2n – 6.

            En déduire une vérification de la limite obtenue dans le 1°) c).

       c) Vérifier que, pour tout nÎN, un = xn + yn  où (xn) est une suite géométrique et (yn) est une

            suite arithmétique dont on précisera pour chacune le premier terme et la raison.

       d) En déduire l’expression de Sn =  en fonction de n.