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Jeudi 18 septembre 2014
Term S

Devoir de Mathématiques (1h50)
(Calculatrice autorisée)

  

Exercice 1 ( 5 points)

 Un volume constant de 2 200 m3 d’eau est réparti entre deux bassins A et B.

Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d’équilibre thermique on crée un courant d’eau entre les deux bassins à l’aide de pompes.

 On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :

• au départ, le bassin A contient 800 m3 d’eau et le bassin B contient 1 400 m3 d’eau ;

• tous les jours, 15% du volume d’eau présent dans le bassin B au début de la journée est transféré vers le bassin A ;

• tous les jours, 10% du volume d’eau présent dans le bassin A au début de la journée est transféré vers le bassin B.

 Pour tout entier naturel n, on note :

an le volume d’eau, exprimé en m3, contenu dans le bassin A à la fin du n-ième jour de fonctionnement ;

bn le volume d’eau, exprimé en m3, contenu dans le bassin B à la fin du n-ième jour de fonctionnement.

 On a donc a0 = 800 et b0 = 1 400.

 

1. Par quelle relation entre an et bn traduit-on la conservation du volume total d’eau du circuit ?

 2. Justifier que, pour tout entier naturel n, an + 1 = an + 330.

 3. L’algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de n à partir de laquelle an est supérieur ou égal à 1 100.

Recopier cet algorithme en complétant les parties manquantes.

Variables :           n est un entier naturel
                            a est un réel

Initialisation :      Affecter à n la valeur 0
                            Affecter à a la valeur 800

Traitement :        Tant que a < 1 100, faire :
                                   Affecter à a la valeur …
                                   Affecter à n la valeur …
                            Fin Tant que

Sortie :                 Afficher n

Zone de Texte: Variables :           n est un entier naturel
                            a est un réel
Initialisation :      Affecter à n la valeur 0
                            Affecter à a la valeur 800
Traitement :        Tant que a < 1 100, faire :
                                   Affecter à a la valeur …
                                   Affecter à n la valeur …
                            Fin Tant que
Sortie :                 Afficher n

 

 

 

 

 

 

 4. Pour tout entier naturel n, on note un = an – 1 320.

a. Montrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

b. Exprimer un en fonction de n.

En déduire que, pour tout entier naturel n, an = 1 320 − 520 × .

…/…

  

Exercice 2 (8,5 points)

 On considère la suite de nombres réels (un) définie sur N par :

u0 = −1, u1 =  et, pour tout entier naturel n, un + 2 = un + 1un.

 1. Calculer u2 et en déduire que la suite (un) n’est ni arithmétique ni géométrique.

2. On définit la suite (vn) en posant, pour tout entier naturel n : vn = un + 1un.

a. Calculer v0.

b. Exprimer vn + 1 en fonction de vn.

c. En déduire que la suite (vn) est géométrique de raison .

d. Exprimer vn en fonction de n.

3. On définit la suite (wn) en posant, pour tout entier naturel n : wn =

a. Calculer w0.

b. En utilisant l’égalité un + 1 = vn + un, exprimer wn + 1 en fonction de un et de vn.

c. En déduire que pour tout n de N, wn + 1 = wn + 2.

d. Exprimer wn en fonction de n.

4. Montrer que pour tout entier naturel n,         un =

5. Pour tout entier naturel n, on pose : Sn =  = u0 + u1 + … + un.

Démontrer par récurrence que pour tout n de N :        Sn = 2 − .

  

Exercice 3 (6,5 points)

 1°) Ecrire les nombres suivants sous forme algébrique :

            z1 = 4(2 + 3i) + i(3 – i)

            z2 = (-7 – 2i)(3 + i)

            z3 =

 2°) Résoudre dans C l’équation :         1 + z = 3iz + 8 – i.

 3°) On pose j =

a)      Montrer que j2 =  et que 1 + j + j2 = 0.

b)      En déduire que  et que j3 = 1.