Interro n°5
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Vendredi 18 mai 2018
Term S3 

Interrogation de Mathématiques (55 min.)
(Calculatrice autorisée)

 

Exercice 1 (10 points)

 Soit (O ; ) un repère orthonormal de l’espace et soient :

·         les points A(1 ; 2 ; 3), B(2 ; 0 ; 1), C(1 ; 1 ; 1)

·     la droite (D) :, kÎR

·         les plans (P) : 2x + z – 5 = 0 et (Q) : x + 2yz – 2 = 0.

 

Partie A

 1°) Déterminer un système d’équations paramétrique de la droites (AB).

 2°) Démontrer que les droites (AB) et (D) ne sont pas coplanaires.

 

Partie B

 1°) Justifier que B appartient au plan (P) et que C appartient au plan (Q).

Que peut-on dire de A par rapport aux plans (P) et (Q) ?

 2°) Soit (D) l’intersection des plans (P) et (Q).

a)   Justifier que (–2 ; 3 ; 4) est un vecteur directeur de la droite (D).

      b)     En déduire un système d’équations paramétrique de la droite (D).

 3°) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

 4°) Quel est l’intersection des plans (ABC), (P) et (Q) ?

  

Exercice 2 (10 points)

 1°) La variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [0 ; 60], calculer les probabilités suivantes :

(On donnera les résultats sous la forme de fractions irréductibles)

a)      P(XÎ[0 ; 15])

b)     PXÎ[30 ; 60](XÎ[30 ; 45])

c)      Quelle est l’espérance mathématique de cette loi ?

 2°) La variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre 0,05 sur [0 ;+¥[, calculer les probabilités suivantes : (On donnera les valeurs exactes et des valeurs approchées à 10-3)

a)      P(XÎ[0 ; 15])

b)     PXÎ[30 ;+¥[(XÎ[30 ; 45])

c)      P(XÎ[15 ; +¥[)

d)     Quelle est l’espérance mathématique de cette loi ?

 3°) La variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite sur R, calculer les probabilités suivantes :

(On donnera des valeurs approchées à 10-3)

a)      P(XÎ[0 ; 2])

b)     PXÎ[1 ; +¥[(XÎ[1 ; 3])

c)      P(XÎ[2 ; +¥[)

d)     Quelle est l’espérance mathématique de cette loi ?

 4°)  a) La variable aléatoire Y suit la loi exponentielle de paramètre l sur [0 ;+¥[.

       Sachant que P(YÎ[10 ; +¥[) = 0,2, déterminer l.

       (On donnera la valeur exacte et une valeur approchée à 10-3).

       b) La variable aléatoire Z suit la loi normale de paramètres m = 1 et s = 2 sur R.

       Sachant que P(ZÎ[a ; +¥[) = 0,2, déterminer une valeur approchée de a à 10-2 près.