Interrro n°2
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Jeudi 06 novembre 2017
Term S3

Interrogation de Mathématiques (55 min.)
(Calculatrice autorisée)

  

Exercice 1 (4 points)

 Déterminer la limite de la suite définie sur N par :               un = .

(On utilisera l’expression conjuguée et une factorisation par n)

  

Exercice 2 (16 points)

 Partie A

 Soit u la suite définie par :                 u0 = 8 et pour tout entier naturel :   un+1 = un + .

 1°) Dans un repère orthonormé (O ; ), placer sur l’axe des abscisses les points d’abscisse u0, u1, u2 et u3 en expliquant la méthode utilisée.

 2°) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel :         2 £ un £ 8.

 3°) Démontrer que la suite u est décroissante.

 4°) En déduire que la suite u est convergente.

 5°) Soit  la limite de la suite u, montrer que  est solution de l’équation :          x +  = x.

En déduire la valeur de .

 

Partie B

 Soit v la suite définie par :                 v0 = –4 et pour tout entier naturel : vn+1 = vn + .

 1°) Placer sur l’axe des abscisses du repère précédent les points d’abscisse v0, v1, v2 et v3. (aucune explication n’est demandée ici)

 2°) Soit w la suite définie par wn = vn – 2, pour tout entier naturel n.

a)      Démontrer que w est une suite géométrique.

b)      En déduire l’expression de wn puis de vn en fonction de n.

 3°) En déduire la limite de la suite v.

 4°) Pour tout entier naturel n, on pose :

Sn == v0 + v1 + v2 + …. + vn.

a)      Déterminer une expression de Sn en fonction de n.

b)      Que peut-on en déduire pour la convergence de la suite (Sn) ?