Bac Blanc (DS n°8)
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Exercice 1 (6 points) Commun à tous les candidats

 Soient f et  les fonctions définies sur ]0 ; +∞[ par : f(x) = ex et

 On admet que f et  sont dérivables sur ]0 ; +∞[. On note f ′ et ′ leurs fonctions dérivées respectives.

Les représentations graphiques de f et  dans un repère orthogonal, nommées respectivement

Cf et Cg sont données ci-dessous : 

Cf

Cg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Partie A – Conjectures graphiques

 Dans chacune des questions de cette partie, aucune explication n’est demandée.

 1. Conjecturer graphiquement une solution de l’équation f(x) = (x) sur ]0 ; +∞[.

 2. Conjecturer graphiquement une solution de l’équation ′(x) = 0 sur ]0 ; +∞[.

 Partie B – Étude de la fonction

 1. Calculer la limite de (x) quand x tend vers +∞.

 2. On admet que la fonction g est strictement positive sur ]0 ; +∞[.

Soit h la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par :

 a. Démontrer que, pour tout nombre réel x strictement positif,

b. Calculer la limite de h(x) quand x tend vers 0.

c. En déduire la limite de (x) quand x tend vers 0.

 3. Démontrer que, pour tout nombre réel x strictement positif,

 4. En déduire les variations de la fonction  sur ]0 ; +∞[.

 Partie C – Aire des deux domaines compris entre les courbes Cf et Cg

 1. Démontrer que la point A de coordonnées (1 ; e –1) est un point d’intersection de Cf et Cg.

On admet que ce point est l’unique point d’intersection de Cf et Cg, et que Cf est au-dessus de Cg sur l’intervalle ]0 ; 1[ et en dessous sur l’intervalle ]1 ; +∞[.

 2. Soient a et b deux réels strictement positifs. Démontrer que :

 3. Démontrer que :

 4. On admet que :

Interpréter graphiquement cette égalité.

 

Exercice 2 (4 points)  Commun à tous les candidats

On dispose d’un dé cubique équilibré dont une face porte le numéro 1, deux faces portent le numéro 2 et trois faces portent le numéro 3.

On dispose également d’une urne contenant dix boules indiscernables au toucher, portant les lettres L, O, G, A, R, I, T, H, M, E (soit quatre voyelles et six consonnes) 

Un joueur fait une partie en deux étapes :

Ø  Première étape : il jette le dé et note le numéro obtenu.

Ø  Deuxième étape :

·         si le dé indique 1, il tire au hasard une boule de l’urne. Il gagne la partie si cette boule porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.

·         si le dé indique 2, il tire au hasard une boule de l’urne. Il gagne la partie si cette boule porte la voyelle A et il perd dans le cas contraire.

·         si le dé indique 3, il tire au hasard une boule de l’urne. Il gagne la partie cette boule porte la voyelle A ou O et il perd dans le cas contraire.

 A la fin de chaque partie, il remet dans l’urne la boule tirée.

On définit les événements suivants :

D1 : « le dé indique 1 »

D2 : « le dé indique 2 »

D3 : « le dé indique 3 »

G : « la partie est gagnée ».

 A et B étant deux événements tels que p(A) ¹ 0, on note pA(B) la probabilité de B sachant que A est réalisé.

 1)  a) Déterminer les probabilités (G), (G) et (G).

     b) Montrer alors que p(G) =

2) Un joueur a gagné la partie. Calculer la probabilité qu’il ait obtenu le numéro 1 avec le dé. 

3) Un joueur fait six parties. Calculer la probabilité qu’il en gagne exactement deux et en donner une valeur arrondie à 10−2 près. 

4) Quel nombre minimal de parties doit-il faire pour que la probabilité d’en gagner au moins une soit supérieure à 0,9 ?

 

Exercice 3 (5 points) Commun à tous les candidats

 On définit la suite de nombres complexes (zn) de la manière suivante :

z0 = 1 et, pour tout entier naturel n, zn+1 =  zn + i.

On se place dans un plan muni d’un repère orthonormé direct (O ; ).

Pour tout entier naturel n, on note An le point du plan d’affixe zn.

Pour tout entier naturel n, on pose un = zn i et on note Bn le point d’affixe un.

On note C le point d’affixe i.

 1. Exprimer un+1 en fonction de un, pour tout entier naturel n.

 2. Démontrer que, pour tout entier naturel n,

un = (1 − i).

 3. a. Pour tout entier naturel n, calculer, en fonction de n, le module de un.

     b. Démontrer que

= 0.

     c. Quelle interprétation géométrique peut-on donner de ce résultat ? 

4. a. Soit n un entier naturel, déterminer un argument de un.

     b. Démontrer que, lorsque n décrit l’ensemble des entiers naturels, les points Bn sont alignés.

     c. Démontrer que, pour tout entier naturel n, le point An appartient à la droite d’équation réduite :

y = − x + 1.

 

Exercice 4 (5 points) Candidats ne suivant pas l’enseignement de spécialité mathématiques.

 On considère la suite (un) définie par u0 = 1, et pour tout entier naturel n,

 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 1 £ un £ e 2.

 2. a. Démontrer que la suite (un) est croissante.

     b. En déduire la convergence de la suite (un).

 3. Pour tout entier naturel n, on pose vn = ln(un) − 2.

     a. Démontrer que la suite (vn) est géométrique de raison .

     b. Démontrer que, pour tout entier naturel n,

     c. En déduire une expression de un en fonction de l’entier naturel n.

     d. Calculer la limite de la suite (un).

 4. Dans cette question, on s’interroge sur le comportement de la suite (un) si l’on choisit d’autres valeurs que 1 pour u0.

Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant. 

Affirmation 1 : « Si u0 = 2018, alors la suite (un) est croissante. »

Affirmation 2 : « Si u0 = 2, alors pour tout entier naturel n, 1 £ un £ e 2. »

Affirmation 3 : « La suite (un) est constante si et seulement si u0 = 0. »

 

Exercice 4 (5 points)  Candidats suivant l’enseignement de spécialité mathématiques.

 On appelle suite de Fibonacci la suite (un) définie par 

u0 = 0, u1 = 1              et, pour tout entier naturel n,             un+2 = un+1 + un.

 On admet que, pour tout entier naturel n, un est un entier naturel.

 Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

 Partie A

 1.  a. Calculer les termes de la suite de Fibonacci jusqu’à u10.

     b. Que peut-on conjecturer sur le PGCD de  et  pour tout entier naturel n ?

 2. On définit la suite (vn) par      pour tout entier naturel n non nul.

     a. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, vn+1 = − vn.

     b. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, .

     c. Démontrer alors la conjecture émise à la question 1. b.

 Partie B

 On considère la matrice  

1. Calculer F 2 et F 3. On pourra utiliser la calculatrice. 

2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul, F n =  

3.  a. Soit n un entier naturel non nul. En remarquant que F 2n+2 = F n+2 × F n, démontrer que .

     b. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, .

 4. On donne u12 = 144.

Démontrer en utilisant la question 3. qu’il existe un triangle rectangle dont les longueurs des côtés sont toutes des nombres entiers, l’une étant égale à 12.

Donner la longueur des deux autres côtés.