Devoir n°7
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Mercredi 11 avril 2018 
 Term S3

DEVOIR de Mathématiques (1h50)
(Calculatrice autorisée)

 Exercice 1 (10 points)

 Soit ABCDEFGH un cube. On note :

·         I le milieu de [FH]

·         J le milieu de [FB]

·     K le point tel que :

 Ne pas reproduire la figure :

Les constructions seront réalisées sur le sujet. 

Les parties A et B sont indépendantes. 

Partie A 

Le but de cette partie est de tracer la section du cube par le plan (IJK). 

1°)       a) Justifier que les droites (JK) et (BC) sont sécantes. Construire leur point d’intersection L.

b) Justifier que les droites (IJ) et (BD) sont sécantes. Construire leur point d’intersection M. 

2°) Que représente la droite (LM) par rapport aux plans (IJK) et (BCD) ? (Justifier) 

3°) On admet que (KI) et (AC) sont sécantes. Construire leur point d’intersection N.

Démontrer que les points L, M et N sont alignés. 

4°) À l’aide de la droite (LM), construire la section du cube ABCDEFGH par le plan (IJK). 

Partie B

 On munit l’espace du repère (A, , , ). 

1°) Donner, sans justification, les coordonnées des points : B, C, D, F, G et H. 

2°) En déduire, en justifiant, les coordonnées des points : I, J et K.

 

3°) Justifier que :   où kÎR,         est un système d’équation paramétrique de la droite (BC) 

et que :  où tÎR,            est un système d’équation paramétrique de la droite (JK). 

En déduire les coordonnées de leur point d’intersection L. 

4°) Déterminer un système d’équations paramétriques de chacune des droites (IJ) et (BD).

En déduire les coordonnées de leur point d’intersection M. 

5°) On admet que (KI) et (AC) sont sécantes en N.

Démontrer que L, M et N sont alignés.

 

Exercice 2 (10 points)

 Soit n un entier naturel non nul.

On considère la fonction fn définie et dérivable sur l’ensemble R des nombres réels par

fn(x) = x2 e−2nx.

On note Cn la courbe représentative de la fonction fn dans un repère orthogonal.

On définit, pour tout entier naturel n non nul,          In =  

Partie A : Étude de la fonction f1 

1. La fonction f1 est définie sur R par f1(x) = x2 e−2x.

On admet que f1 est dérivable sur R et on note f1′ sa dérivée.

a. Justifier que pour tout réel x, f1′(x) = 2x e−2x (1 − x).

b. Étudier les variations de la fonction f1 sur R.

c. Déterminer la limite de f1 en −∞.

d. Vérifier que pour tout réel x, f1(x) = . En déduire la limite de f1 en +∞. 

2. Déterminer les réels a, b et c pour que la fonction F1 définie sur R par : F1(x) = (ax2 + bx + c) e−2x

soit une primitive de la fonction f1 sur R.

En déduire la valeur exacte de I1

Partie B : Étude de la suite (In)

 1.         a. Justifier que, pour tout entier naturel n non nul et pour tout réel x appartenant à [0 ; 1],

fn+1(x) = e−2x fn(x).

b. En déduire, pour tout entier naturel n non nul et pour tout réel x appartenant à [0 ; 1],

fn+1(x) £ fn(x).

c. Déterminer alors le sens de variation de la suite (In).

 2. Soit n un entier naturel non nul.

a. Justifier que pour tout entier naturel n non nul et pour tout réel x appartenant à [0 ; 1],

0 £ fn(x) £ e−2nx.

b. En déduire un encadrement de la suite (In), puis sa limite.