Devoir n°5
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Jeudi 25 janvier 2018     
Term S3 

DEVOIR de Mathématiques (1h50)
(Calculatrice autorisée)

   

Exercice 1 (10 points)

 Le petit Nicolas joue à un jeu vidéo dans lequel il reçoit chaque jour une caisse en cadeau.

 Dans cette caisse il trouve un objet qui peut-être :

bulletsoit une arme,
bulletsoit une tenue,
bulletsoit un sac.

 Chacun d’entre eux pouvant être :

bulletsoit commun,
bulletsoit rare.

 Il a remarqué :

bulletQu’il obtenait un sac dans la moitié des caisses.
bulletQu’il obtenait une tenue dans 30 % des caisses.
bulletQue lorsque l’objet est une arme, elle est commune neuf fois sur dix.
bulletQue lorsque l’objet est une tenue, elle est commune huit fois sur dix.
bulletQue l’objet le plus courant est le sac commun qu’il trouve 30 % du temps.

 On note les événements suivants :

bulletC : L’objet trouvé est commun.
bulletA : L’objet trouvé est une arme.
bulletT : L’objet trouvé est une tenue.
bulletS : L’objet trouvé est un sac.

 1°) Déterminer la probabilité d’obtenir une arme.

 2°) Déterminer la probabilité d’obtenir une tenue commune.

 3°) Montrer que la probabilité d’obtenir un objet commun est égal à 0,72.

 4°) Le petit Nicolas a obtenu un objet rare, quelle est la probabilité que ce soit une arme ?

 5°) Pour Noël, le jeu a offert 5 caisses indépendantes les unes des autres.

a)      Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une arme ?

b)      Quelle est la probabilité d’obtenir exactement deux armes ?

 6°) Les sacs contiennent des pièces :

bulletLe sac commun contient 5 pièces d’or.
bulletLe sac rare contient 20 pièces d’or.

Par contre, les armes et les tenues ne rapportent pas de pièces d’or…

Soit X la variable aléatoire égale au nombre de pièces d’or reçues à l’ouverture de la caisse.

a)      Déterminer la loi de probabilité de X.

b)      Déterminer l’espérance mathématique de X

 (Dans tout l’exercice on donnera des valeurs décimales exactes ou des valeurs approchées à 10-3 près)


 

Exercice 2 (10 points)

 Partie A

 Soit g la fonction définie sur R par : g(x) = (6x – 1) e 2x – 3.

 1°) Déterminer la limite de g en +¥.

 2°) En remarquant que l’on peut écrire : g(x) = 3 (2x e 2x) – e 2x – 3, déterminer la limite de g en –¥.

 3°) Déterminer les variations de g et dresser son tableau de variations complet.

 4°) Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution a sur R.

Déterminer une valeur approchée de a à 10-2 près.

 5°) En déduire le signe de g(x) sur R en fonction de x.

 Partie B

 Soit f la fonction définie sur R par : f(x) =

On note (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

 1°) Déterminer la limite de f en –¥.

 2°) À l’aide d’une factorisation judicieusement choisie, déterminer la limite de f en +¥.

Que peut-on en déduire pour (Cf) ? 

3°) Démontrer que f’(x) est du signe de g(x) sur R.

En déduire les variations de f et dresser son tableau de variations complet.

 4°) Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (Cf) au point d’abscisse 0.

 5°) Tracer la droite (T) et la courbe (Cf) dans un repère orthonormé. (unité : 2 cm)