Devoir n°5
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Mercredi 16 janvier 2019
Term S3

DEVOIR de Mathématiques (1h50)
(Calculatrice autorisée)

 

Exercice 1 (7 points)

 Soit la fonction f définie sur R par :    f(x) = cos(2x) + sin2(2x).

On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormal

(unité graphique 2 cm.).

 1°) Démontrer que f est de période p.

 2°) Etudier la parité de f.

 3°) On note : I = , expliquer comment obtenir la courbe Cf complète à partir d’un tracé sur I.

 4°) Factoriser f’(x) et justifier que, f’(x) est du signe de   cos(2x) –    sur . En déduire les variations de f sur l’intervalle I puis dresser son tableau de variations complet sur I.

 5°) Tracer la courbe Cf sur l’intervalle [-p ; p].

  

Exercice 2 (7 points)

 Soit la fonction f définie sur  par :    f(x) = .

On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité graphique 2 cm.).

 1°) Calculer la limite de f en +¥. Que peut-on en déduire pour la courbe (Cf) ?

 2°) Etudier la dérivabilité de f en x = . Que peut-on en déduire pour (Cf) ?

 3°) Factoriser f’(x) et justifier que, f’(x) est du signe de (1 – x) sur ,

En déduire les variations de f sur  puis dresser son tableau de variations complet.

 4°) Tracer la courbe Cf sur .

 

Exercice 3 (6 points)

 Un forain propose le jeu suivant :

Le joueur mise 4 € puis lance un dé à 6 faces, parfaitement équilibré.

·         S’il obtient 1 ou 6, il tire alors une boule de l’urne numéro 1 qui contient 10 boules : 3 vertes et 7 rouges

·         Sinon, il tire alors une boule de l’urne numéro 2 qui contient 10 boules : des noires et des rouges

 Les gains sont alors les suivants :

·         Tirage d’une boule verte : Gain de 10 €.

·         Tirage d’une boule rouge : Gain de 5 €.

·         Tirage d’une boule noire : Aucun gain.

 1°) On note les événements suivants :

                            U1 : « Tirer une boule de l’urne numéro 1 »

                            U2 : « Tirer une boule de l’urne numéro 2 »

                            V : « Tirer une boule verte »

                            R : « Tirer une boule rouge »

                            N : « Tirer une boule noire »

Modéliser les données de l’énoncé (et uniquement celles-ci) sur un arbre pondéré.

 2°) Le forain annonce :

          « Venez jouer ici, vous aurez trois chances sur 5 de gagner ! »

En déduire la probabilité de tirer une boule noire.

Combien y-a-t-il de boules de chaque couleur dans l’urne numéro 2 ?

 3°) Soit X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur (mise déduite).

Déterminer la loi de probabilité de X et son espérance mathématique.

 4°) Un joueur tente sa chance 10 fois de suite à ce jeu.

On note Y la variable égale au nombre de fois où il gagne lors de ces 10 parties.

a)       Quelle est la loi de probabilité suivie par Y ?

b)      Déterminer la probabilité que le joueur gagne au moins une fois.

c)       Déterminer la probabilité que le joueur gagne exactement 5 fois.

d)      Quelle est l’espérance mathématique de Y ?