Devoir n°4
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Mercredi 10 janvier 2018                                                                                                               Term S3 

DEVOIR de Mathématiques (1h50)
(Calculatrice autorisée)

 

Exercice 1 (8 points)

 Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (O,).

Pour tout entier naturel n, on note An le point d’affixe zn défini par :

z0 = 1   et   zn+1 = zn.

On définit la suite (rn) par rn = |zn| pour tout entier naturel n.

 1. Donner la forme exponentielle du nombre complexe .

 2.  a. Montrer que la suite (rn) est géométrique de raison .

     b. En déduire l’expression de rn en fonction de n.

     c. Que dire de la longueur OAn lorsque n tend vers +∞ ?

Entrée

Demander la valeur de P

Traitement

R prend la valeur 1

n prend la valeur 0

Tant que R > P

      n prend la valeur n + 1

      R prend la valeur R

Fin tant que

Sortie

Afficher n

 

Zone de Texte: Entrée
Demander la valeur de P
Traitement
R prend la valeur 1
n prend la valeur 0
Tant que R > P
      n prend la valeur n + 1
      R prend la valeur R
Fin tant que
Sortie
Afficher n
 

3. On considère l’algorithme suivant :

  

 

 

 

 

 

 

     a. Quelle est la valeur affichée par l’algorithme pour P = 0,5 ?

     b. Pour P = 0,01 on obtient n = 33. Quel est le rôle de cet algorithme ? 

4.  a. Démontrer que le triangle OAnAn+1 est rectangle en An+1.

     b. Démontrer par récurrence que : zn = rn .

     c. Déterminer les valeurs de n pour lesquelles An est un point de l’axe des ordonnées.

     d. Compléter la figure donnée ci-dessous, à rendre avec la copie, en représentant les points A6, A7, A8

      et A9. (Les traits de construction seront apparents.)

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 2 (7 points)

 Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = 4 sin4 x + 3 cos(2x).

On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

 1°) Démontrer que f est périodique de période p.

 2°) Etudier la parité de f.

 3°) En déduire que l’on peut réduire l’intervalle d’étude à l’intervalle I = [0 ; p/2]

et expliquer comment l’on obtient alors la courbe Cf complète à partir de cet intervalle.

 4°) Démontrer que l’on peut écrire : f’(x) = 4 sin x cos x (4 sin2 x – 3).

 5°) Résoudre l’inéquation : 4 sin2 x – 3 ³ 0 sur [0 ; p/2].

En déduire les variations de f sur I puis dresser son tableau de variations complet sur I.

 6°) Tracer la courbe Cf sur [-p ; p].

  

Exercice 3 (5 points)

 Une société de design travail sur un nouveau modèle dont voici le profile :

On y retrouve la courbe de la fonction f définie sur [–3 ; 2] par :

 1°) Etudier la continuité de la fonction f en –1 et en 1.

 2°) Etudier la dérivabilité de la fonction f en –1 et en 1.