Devoir n°2
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Jeudi 12 octobre 2017
 Term S3

DEVOIR de Mathématiques (1h50)
(Calculatrice autorisée)

  

Exercice 1 (6,5 points)

 1°) Pour tout nombre complexe z, on note :

P(z) = z3 – 3(1 – i) z2 – 2(3 + 7i) z + 8 – 40i.

a)      Montrer que P admet une unique racine réelle que l’on déterminera.

b)      Montrer que P admet une unique racine imaginaire pure que l’on déterminera.

c)      Déterminer le complexe c tels que, pour tout complexe z :

P(z) = (z + 2)(z + 4i)(z + c).

            En déduire la résolution de l’équation : P(z) = 0.

 2°) On note A, B et C les points d’affixes respectives :

zA = –2, zB = –4i et zC = 5 + i.

a)      Placer ces trois points dans le plan complexe.

b)      Quelle est la nature du triangle ABC ?

  

Exercice 2 (3,5 points)

 Soit l’équation (E) : z2 = –5 + 12i dans C.

 1°) Soit x et y deux réels tels que (x + iy)2 = –5 + 12i.

Montrer que x est solution de l’équation (E1) : x4 + 5x2 – 36 = 0 dans R.

 2°) Résoudre l’équation (E2) : u2 + 5u – 36 = 0 dans R.

 3°) En déduire les solutions de (E).

  

Exercice 3 (2 points)

 Déterminer la limite de la suite définie sur N par :   un = .

(On utilisera l’expression conjuguée et une factorisation par n)

 

Exercice 4 (8 points)

 Partie A

 Soit u la suite définie par :

u0 = –3 et pour tout entier naturel : un+1 = un + 1.

1°) Dans un repère orthonormé (O ; ), placer sur l’axe des abscisses les points d’abscisse u0, u1, u2 et u3 en expliquant la méthode utilisée.

2°) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel :

–3 £ un £ 3.

 3°) Démontrer que la suite u est croissante.

 4°) En déduire que la suite u est convergente.

 5°) Soit  la limite de la suite u, montrer que  est solution de l’équation :          x + 1 = x.

En déduire la valeur de .

 

Partie B

 Soit v la suite définie par :

            v0 = 6 et pour tout entier naturel :   vn+1 = vn + 1.

 1°) Placer sur l’axe des abscisses du repère précédent les points d’abscisse v0, v1, v2 et v3. (aucune explication n’est demandée ici) 

2°) Soit w la suite définie par wn = vn – 3, pour tout entier naturel n.

a)      Démontrer que w est une suite géométrique.

b)      En déduire l’expression de wn puis de vn en fonction de n.

 3°) En déduire la limite de la suite v.

 4°) Pour tout entier naturel n, on pose :

Sn == v0 + v1 + v2 + …. + vn.

a)      Déterminer une expression de Sn en fonction de n.

b)      Que peut-on en déduire pour la convergence de la suite (Sn) ?