Devoir n°1
Accueil Remonter
 mail2.gif (4196 octets) écrivez-moi pour me faire part de vos remarques.

Devoir n°1 Interro n°1 Devoir n°2 Interrro n°2 Interro n°3

 

Mercredi 20 septembre 2017 
Term S

  

DEVOIR de Mathématiques (1h50)
(Calculatrice autorisée)

  

Exercice 1 ( 8,5 points )

 Un apiculteur étudie l’évolution de sa population d’abeilles. Au début de son étude, il évalue à 10 000 le nombre de ses abeilles.

Chaque année, l’apiculteur observe qu’il perd 20% des abeilles de l’année précédente.

Il achète un nombre identique de nouvelles abeilles chaque année. On notera c ce nombre exprimé en dizaines de milliers.

On note u0 le nombre d’abeilles, en dizaines de milliers, de cet apiculteur au début de l’étude.

Pour tout entier naturel n non nul, un désigne le nombre d’abeilles, en dizaines de milliers, au bout de la

n-ième année. Ainsi, on a : 

u0 = 1  et, pour tout entier naturel n, un+1 = 0,8un + c

Partie A

 On suppose dans cette partie seulement que c = 1. 

  1. Conjecturer, à l’aide de la calculatrice, la monotonie et la limite de la suite (un).
  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un = 5 – 4 × 0,8n.
  1. Vérifier les deux conjectures établies à la question 1. en justifiant votre réponse.

Interpréter ces deux résultats.

 Partie B

 On définit la suite (vn) par, pour tout entier naturel n, vn = un − 5c. 

  1. Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
  1. En déduire une expression du terme général de la suite (vn) en fonction de n, puis une expression du terme général de la suite (un) en fonction de n .
  1. Déterminer une valeur approchée de c à 10-3 près pour que l’apiculteur ait environ  50000 abeilles au bout de 4 ans.

  

Exercice 2 ( 2 points )

IMG_0.jpg

Zone de Texte:

 

Sur cette figure : · OA0 = 1

     · A0A1 = A1A2 = …… = 2

     · les triangles OA0A1, OA1A2, ….. sont rectangles.

Démontrer par récurrence que pour tout nombre entier naturel n

OAn = .

  

Exercice 3 ( 5 points )

 On considère la suite (un) définie par  u0 = 5 et pour tout entier naturel n,   un+1 = 5un – 6.

On note    Sn == u0 + u1 + u2 + …. + un.

 Partie A

 1)      Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous permettant d’afficher en sortie la valeur de Sn, sachant que la valeur de l’entier naturel n est entrée par l’utilisateur .

Zone de Texte: Variables :       n  , U , S , k : entiers naturels                        
Début :            U  prend la valeur ………..
S  prend la valeur ………..
Saisir  n
Pour  k  allant de 1 à n
                                    U prend la valeur ………………….
                                    S prend la valeur ………………….
                        Fin Pour
                        Afficher S
Fin.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)      Faire fonctionner cet algorithme pour n = 3. Pour cela, recopier et compléter le tableau

ci-dessous.

k

 

1

2

3

U

5

 

 

 

S

 

 

 

 

 3)      Quelle est la valeur S3 ?

 Partie B

 L’expression du terme général de la suite (un) précédente est  un =  pour tout n entier naturel.

 1)      Exprimer  Sn en fonction de n. 

2)      Retrouver la valeur de S3 calculée dans la partie 3.

  

Exercice 4 ( 4,5 points )

 1)      Ecrire sous forme algébrique les complexes suivants :

a)      z1 =

b)      z2 =

2)      Résoudre dans C les équations suivantes. (On écrira les solutions sous forme algébrique)

a)      (E1) : 2z + 1 = 2 – i + iz

b)      (E2) : z2 - z + 28 = 0

c)      (E3) : z + 2i = 2 – 5i