Devoir n°8
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Mercredi 16 mai 2018 
 1°S3

Devoir de Mathématiques (1h50.)
(Calculatrice autorisée)

 

Exercice 1 (11 points) 

Partie A

 Soit g définie sur R par :        g(x) = x3 + 6x – 20.

 1°) Déterminer une expression de g’(x) et en déduire les variations de g sur R.

 2°) Calculer g(2) et en déduire le signe de g(x) en fonction de x.

 Partie B

 Soit f définie sur R par :         f(x) =

et (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

 1°) Démontrer que f’(x) est du signe de  x × g(x)  sur R.

 2°) En déduire les variations de f sur R et dresser son tableau de variations.

 3°) Déterminer une équation de la tangente (T) à (Cf) au point d’abscisse –1.

 4°) Soit d définie sur R par :  d(x) = f(x) – (x – 5).

Déterminer le signe de d(x) en fonction de x, en déduire la position de la courbe (Cf) par rapport à la droite (D) d’équation y = x – 5.

 5°) Tracer les droites (T) et (D) et la courbe (Cf) sur l’intervalle [–2 ; 8].

 

Exercice 2 (4 points)

 Le petit Nicolas joue à un jeu de cartes à collectionner sur son ordinateur.

Il reçoit régulièrement des cartes en cadeau.

 1°) Une carte peut être : commune, rare, épique ou légendaire. (il n’y a pas d’autres possibilités)

Le petit Nicolas vient de recevoir une nouvelle carte, on note les événements suivants :

·         C : « La carte est commune »

·         R : « La carte est rare »

·         E : « La carte est épique »

·         L : « La carte est légendaire »

On connait les probabilités suivantes : P(C) = , P(R) =  et P(E) = .

Quelle est la probabilité que Nicolas obtienne une carte légendaire ? 

2°) De plus, toutes ces cartes peuvent être de qualité normale ou dorée. On note l’événement :

·         N : « La carte est normale » 

a)   Que représente l’événement ?

b)      La probabilité que Nicolas obtienne une carte commune normale est .
Quelle est la probabilité que Nicolas obtienne une carte commune dorée ?

c)      La probabilité que Nicolas obtienne une carte dorée est .
Quelle est la probabilité que Nicolas obtienne une carte non-commune ou dorée ?

 

Exercice 3 (5 points)

 On définit deux suites u et v par :

u0 = ½ et un+1 = f(un) pour tout nÎN

v0 = ½ et vn+1 = g(vn) pour tout nÎN

 Les courbes (Cf) et (Cg) sont tracées

ici, ainsi que la droite (D) : y = x.

 1°) a) Expliquer la construction du
cours permettant d’obtenir les points
A1, A2 et A3 d’abscisses respectives
u1, u2 et u3 sur l’axe des abscisses à
partir du point A0(u; 0) et des courbes
(Cf) et (D).

 b) Réaliser cette construction sur le
graphique ci-contre.

 c) La fonction f a pour équation :

f(x) = 3 – .

En déduire les valeurs exactes de u1,u2 et u3

2°) a) Construire ci-dessous, les points A’1, A’2 et A’3

d’abscisses respectives v1, v2 et v3 sur l’axe des abscisses

à partir du point A’0(v; 0) et des courbes (Cg) et (D).

(Les traits de constructions serviront d’explication ici) 

b) Sachant que (Cg) est une hyperbole de centre W(3 ; 2),

 déterminer l’expression de g(x) en fonction de x. 

c) En déduire la valeur exacte de v1.

(Cg)

Zone de Texte: (Cg)