Devoir n°7
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Mercredi 7 mars 2018 
1°S3

Devoir de Mathématiques (1h50.)
(Calculatrice autorisée)

 

Exercice 1 (5 points) 

Soit f définie sur R par : f(x) = –x2 + x + 3 et g définie sur R\{2} par : g(x) = . 

1°) Tracer, en justifiant, les courbes représentatives de f et de g, (Cf) et (Cg), dans un même repère.

2°) Simplifier : , et montrer que :  = .

3°) En déduire la valeur des nombres dérivés f ’(1) et g’(3).

4°) Déterminer une équation de la tangente à (Cf) au point d’abscisse 1 et de la tangente à (Cg) au point d’abscisse 3. Que remarque-ton ? Compléter le graphique tracé dans le 1°).

  

Exercice 2 (7 points)

 1°) Soit ABC un triangle tel que : AB = 5, AC = 6 et BC = 7.

On note B’ le milieu de [AC].                                                          Calculer la mesure exacte de BB’.

 2°) Soit DEF un triangle tel que : DE = 6, DF = 8 et  = 60°.     Calculer la mesure exacte de EF.

 3°) Soit IJK un triangle tel que : IJ = 4,  = 60° et  = 75°.       Calculer la mesure exacte de JK.

 4°) Soit LMN un triangle tel que : LM = 4, LN = 2 et MN = 6.

                                                                                                          Calculer la mesure exacte de .

  

Exercice 3 (8 points)

 Soient A et B deux points distincts, le but de l’exercice est de déterminer l’ensemble des points M du plan tels que :  = 2 par deux méthodes différentes. 

Partie A – Méthode géométrique.

 1°) Démontrer que  = 2 équivaut à :  = 0.

2°) Soient I et J les points définis par :                 et        .

Démontrer que pour tout point M, on a :          et         .

3°) En déduire que  = 2 équivaut à :  et  orthogonaux.

4°) Caractériser l’ensemble des points M du plan tels que :  = 2.

 

Partie B – Méthode analytique.

 Soient A(-5 ; 3), B(1 ; 0) et M(x, y) dans un repère orthonormal.

1°) Démontrer que MA2 = 4 MB2 équivaut à :         x2 + y2 – 6x + 2y – 10 = 0.

2°) En déduire que l’ensemble des points M du plan tels que :  = 2 est un cercle (C) dont on précisera le centre et le rayon.

3°) Soient I et J les points définis par :                 et         .

a)      Déterminer les coordonnées des points I et J.

b)      Vérifier que [IJ] est un diamètre du cercle (C).