Devoir n°3
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Mercredi 18 octobre 2017 
1°S3

DEVOIR de Mathématiques (1h50)
(Calculatrice autorisée)

 

I/ Equation. (2 points) 

Résoudre dans R l’équation :                x4 + 5x2 – 36 = 0 

(On effectuera le changement de variable suivant : u = x2)

 

II/ Troisième degré. (5 points) 

Soit P le polynôme défini sur R par :     P(x) = 6x3 – 17x2 + 4x + 12. 

1°) Calculer P(2). Que peut-on en déduire pour P(x) ? 

2°) Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout réel :

P(x) = (x – 2)(ax2 + bx + c) 

3°) Résoudre dans R :

a)       P(x) = 0.

b)      P(x) > 2(2 – x).

 

III/ Pénalité ! (3,5 points) 

Lors d’un match de rugby, un joueur a réussi un coup de pied de pénalité en étant placé à 30 m des poteaux. Un spectateur situé dans la tribune en face,

15 m derrière les poteaux et à 4,50 m du sol, a reçu le ballon sur lui !

Sachant que la trajectoire du ballon était une parabole parfaite dont le sommet était à la verticale de la ligne des poteaux…

bulletLe ballon a-t-il dépassé la hauteur des poteaux (9 m) ?
bullet

30

15

4,5

Un joueur adverse positionné à 10 m du buteur aurait-il pu arrêter le ballon ?

On donnera l’équation de la trajectoire.

C’est-à-dire : la hauteur du ballon en

fonction de la distance parcourue au sol

(en mètres)

  

IV/ Système. (2,5 points)

 Résoudre le système suivant :  

  

V/ La droite de Newton. (7 points)

 On se place dans un repère (O ;,) avec les points :

A(2 ; 6), B(–1 ; 3), C(–4 ; –3) et D(6 ; –1).

 1°) Justifier que ABCD n’est pas un parallélogramme.

 2°) Déterminer une équation des droites (AB) et (CD).

 3°) Déterminer les coordonnées du point E, intersection des droites

(AB) et (CD).

 4°) Justifier que les droites (AD) et (BC) ont pour équations :

7x + 4y – 38 = 0   et   2xy + 5 = 0.

 5°) Déterminer les coordonnées du point F, intersection des droites

(AD) et (BC).

 6°) Déterminer les coordonnées des points I, J, K, milieux respectifs des segments [AC], [BD] et [EF].

 7°) Démontrer que les points I, J et K sont alignés.

(Cette droite est appelée droite de Newton pour le quadrilatère ABCD)

 Remarque : La figure n’est pas exigée, mais il est fortement conseillé de la faire au brouillon pour vérifier ses résultats !