Devoir n°1
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Mercredi 13 septembre 2017
1°S3

DEVOIR de Mathématiques (1h50)
(Calculatrice autorisée)

  

I/ Second degré. (8 points)

 Pour tout réel x, on note :       P(x) = 9x2 – 4 + (3x – 2)(x + 3) – 2(3x – 2)2.

 1°)     a) Factoriser P(x).

          b) Développer et réduire pour vérifier que P(x) = –6x2 + 31x – 18.

 2°) En utilisant l’expression la plus adaptée :

          a) Calculer P(–1), P(2/3) et P().

          b) Résoudre dans R l’équation : P(x) = 3x – 2.

          c) Résoudre dans R l’équation : P(x) = 31x.

          d) Résoudre dans R l’équation : P(x) = 31x – 36.

          e) Résoudre dans R l’inéquation : P(x) > 0.

  

 II/ Énigme. (2 points)

 Un élève a tracé la courbe de la fonction f définie par :

f(x) = 2x2 + 4x + c

sur sa calculatrice, mais il a oublié la valeur de la constante c.

De plus il n’a pas gradué les axes sur l’écran !

 Pour retrouver la valeur de la constante c, il n’a qu’un indice :

Il a remarqué, sur le graphique, que deux longueurs sont égales.

 Quelle est la valeur de la constante ?

(On pourra commencer par trouver l’abscisse du sommet, puis écrire une équation avec son ordonnée)

  

III/ Sans coordonnées. (7 points)

 Soit un parallélogramme ABCD de centre O, avec AB = 8, AC = 12 et BC = 6 (en centimètres)

On note I, J, K les points définis par :

 

 

  

1°) Faire une figure.

2°) Démontrer que

3°) Exprimer  en fonction de  et .

4°) Démontrer que les vecteurs  et  sont colinéaires.

Que peut-on en déduire pour les points A, I, K ?

5°) Exprimer  et  en fonction de  et .

6°) Démontrer que les vecteurs  et  sont colinéaires.

Que peut-on en déduire pour les points O, J, K ?

  

IV/ Avec coordonnées. (3 points)

 On se place dans un repère (O ;,) avec A(–3 ; 1), B(1 ; 2), C(0 ; –1) et D(–4 ; –2)

 1°) Faire une figure que l’on complétera au fur et à mesure.

2°) Démontrer que ABCD est un parallélogramme.

3°) Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point I milieu de [AB].

4°) Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point E tel que DICE soit un parallélogramme.

5°) Les points O, B, E sont-ils alignés ? Justifier.