Interro n°2
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Mardi 9 mai 2017                                                                                1°S3

Interrogation de Mathématiques (55 min.)
(Calculatrice autorisée)

 

I/ Fonctions. (13 points)

Soit f la fonction définie sur R* par :             f(x) =

et (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

 1°) On a tracé sur le graphique ci-dessous

les courbes des fonctions g et h définies par :

g(x) =    et   h(x) = .

 

 

 

 

  

 

 

a)      Peut-on déterminer les variations de f à partir de celles de g et h ? Justifier.

b)      Placer sur le graphique ci-dessus, les points de (Cf) d’abscisses : ½ , 1 et 2.

2°) Déterminer la parité de f.

Que peut-on en déduire pour sa courbe représentative ? 

3°) a)  Déterminer une expression factorisée de la fonction dérivée f’ de f.

b)      En déduire les variations de f et tracer son tableau de variations.

c)      Tracer la courbe (Cf) sur le graphique précédent. (sur le sujet) 

4°) Déterminer une équation de la tangente à (Cf) au point d’abscisse 2. 

5°) Résoudre dans R l’équation : x4x2 – 1 = 0. (On pourra poser X = x2)

En déduire l’existence de deux points de (Cf) où la tangente est parallèle à la droite (D) : y = x.

  

II/ Suites. (7 points)

 Partie A

 Soient P et Q les polynômes définis sur R par :

P(x) = –x2 + 2x – 2   et   Q(x) = P(x) – x.

 1°) Ecrire la forme canonique de P(x).

Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole (CP) définie par :

(CP) : y = P(x) et tracer la courbe (CP) dans un repère orthonormal.

N.B : Faire figurer : –5 £ x £ 4 et –6 £ y £ 1. (unité 1 cm sur chaque axe)

 2°) Déterminer le signe de Q(x) sur R.

 Partie B

 Soit u la suite définie sur N par : u0 = 1 et un + 1 = P(un).

 1°) Tracer sur le graphique de la Partie A la droite (D) : y = x, puis placer sur l’axe des abscisses, les trois premiers termes de la suite u, en utilisant la courbe (CP) et en expliquant la méthode utilisée.

 2°) A l’aide de la Partie A, déterminer la monotonie de la suite u.

 3°) Calculer la valeur exacte de u5.