DEVOIR n°9
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Mardi 16 mai 2017 
1°S3

DEVOIR de Mathématiques (1h50)
(Calculatrice autorisée)

 

Exercice 1 (6 points)

 On considère un jeu de 32 cartes :

bulletValeurs : 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as
bulletCouleur : pique, cœur, carreau, trèfle.

 1°) Soit l’expérience aléatoire consistant à tirer une carte au hasard. On suppose qu’il y a équiprobabilité.

On considère les événements suivants :

bulletC : « Tirer un cœur »
bulletF : « Tirer une figure (valet, dame, roi) »

 Décrire les événements suivants : , CÇF et CÈF puis calculer leurs probabilités respectives.

 2°) On organise le jeu suivant :

Le joueur mise 5 € puis tire une carte.

bulletS’il obtient l’as de cœur, il gagne 50 €
bulletS’il obtient une figure de cœur, il gagne 10 €
bulletS’il obtient une autre carte de cœur, il est remboursé de ses 5 €
bulletDans tous les autres cas, il ne gagne rien !

On note X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur en € (mise déduite)

 Déterminer la loi de probabilité de X et son espérance mathématique.

Que signifie concrètement cette valeur ?

  

Exercice 2 (4 points)

 Soit (E) l’équation : cos(2x) = cos(x).

1°) Résoudre l’équation (E’) : 2X 2X – 1 = 0 dans R.

 2°) On note a le réel de [0 ; p/2] tel que : cos a = .

En déduire les solutions de l’équation (E) dans R puis dans ]–p ; p].

  

Exercice 3 (4 points)

Soit f la fonction définie sur [0 ; +¥[ par : f(x) =  

1°) Justifier, en utilisant la définition, que f n’est pas dérivable en 0.

 2°) Démontrer que f’(x) est du signe de (1 – x) sur ]0 ; +¥[.

 3°) En déduire les variations de f et dresser son tableau de variations.

  

Exercice 4 (6 points)

Soit u la suite définie sur N par :

1°) Justifier que u n’est pas une suite arithmétique.

 2°) On admet que : un > 0 pour tout nÎN.

Déterminer la monotonie de la suite u.

 3°) Soit v la suite définie sur N par : vn =  pour tout nÎN.

a)      Démontrer que v est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison.

b)      En déduire une expression de vn, puis de un, en fonction de n.

 4°) On admet que l’on peut écrire : un =  pour tout nÎN.

Soit p un entier naturel, résoudre : 0 < un < 10p.

Application : à partir de quel rang a-t-on 0 < un < 0,001 ?