DEVOIR n°7
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Mercredi 22 février 2017
1°S3

DEVOIR de Mathématiques (1h50)
(Calculatrice autorisée)

  

Exercice 1 (3 points)

 Un professeur rend fièrement les copies à sa classe de 25 élèves en annonçant :

« Pour ce devoir, la moyenne est 10,64 et l’écart-type est 3,52 »

Mais le lendemain, un élève vient le voir avec la copie rendue la veille :

« Monsieur, j’ai eu 12/20 sur ma copie, mais sur Scolinfo il est écrit 02/20 ! »

 

Calculer la vraie moyenne et le vrai écart-type pour ce devoir, une fois la faute de frappe réparée.

(Pour l’écart-type, on donnera une valeur approchée à 10-2 près)

  

Exercice 2 (4 points)

 Soit ABCD un parallélogramme tel que AB = 4, AD = 3 et BÂD = 30°.

 Calculer les longueurs exactes des deux diagonales du parallélogrammes : BD et AC.

  

Exercice 3 (5 points) 

 

On souhaite vérifier les propriétés de la courbe ci-contre : 

1°) La partie de la courbe entre A et B correspond à une fonction f définie par :            f(x) =  sur [-2 ; 1] 

Lire graphiquement les coordonnées de B et en déduire la valeur de a. 

2°) La partie de la courbe entre B et D correspond à une parabole de sommet C définie par g(x) sur [1 ; 4].

Déterminer l’expression de g(x). 

3°) Soit f la fonction définie par :      f(x) = .

Déterminer f’(1) et en déduire une équation de la tangente à la courbe (Cf) au point d’abscisse 1. 

4°) Soit g la fonction définie par :     g(x) = –x2 + 6x – 3.

Déterminer g’(1) et en déduire une équation de la tangente à la courbe (Cg) au point d’abscisse 1. 

5°) Que remarque-t-on ?

  

Exercice 4 (8 points)

 Soient les points A(8 ; –3) et B(–4 ; 1) dans un repère orthonormal.

On note :                       · (E) l’ensemble des points M du plan tels que AM2 – BM2 = 80.

                                      · (F) l’ensemble des points M du plan tels que AM2 + BM2 = 100.

 Le but de l’exercice est de déterminer la nature et les éléments caractéristiques* des ensembles (E) et (F) par deux méthodes différentes.

 Partie A Méthode analytique.

 1°)  Soit M(x, y). Exprimer AM2 et BM2 en fonction de x et de y.

 2°)  a) Ecrire l’équation vérifiée par x et y pour l’ensemble des points M(x, y) de (E).

       b) En déduire la nature de l’ensemble (E). On donnera ses éléments caractéristiques*.

 3°)  a) Ecrire l’équation vérifiée par x et y pour l’ensemble des points M(x, y) de (F).

       b) En déduire la nature de l’ensemble (F). On donnera ses éléments caractéristiques*.

 Partie B Méthode géométrique.

 1°) Soit I le milieu de [AB] et K le point du plan tel que .

       a) Calculer la longueur AB et on déduire les valeurs de : AI2, BI2, AK2 et BK2.

       b) Les points I et K appartiennent-ils aux ensembles (E) et (F).

 2°)  a) Montrer que, pour tout point M : AM2 – BM2 = 80 + 2.

       b) En déduire la nature de l’ensemble (E).

       c) Déterminer les coordonnées de K et confirmer le résultat du A-2°).

 3°)  a) Montrer que, pour tout point M : AM2 + BM2 = 80 + 2 IM2.

       b) En déduire la nature de l’ensemble (F).

       c) Déterminer les coordonnées de I et confirmer le résultat du A-3°).

 (*) Remarque :

Eléments caractéristiques d’une droite : Un point et un vecteur directeur (ou un vecteur normal).

Eléments caractéristiques d’un cercle : Son centre et son rayon (ou un diamètre).