DEVOIR n°3
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Mercredi 19 octobre 2016
1ère

DEVOIR de Mathématiques (1h50)
(Calculatrice autorisée)

  

Exercice 1 :    (4 points) 

1)   a)  Résoudre dans l’équation : .

b)  En utilisant un changement d’inconnue, en déduire les solutions de l’équation :

           

2)   Résoudre dans l’équation :

 

Exercice 2 :    (5 points) 

ABCD est un rectangle tel que AB = 3 cm et BC = 5 cm.

Les points M, N, P, Q appartiennent aux côtés du rectangle et AM = BN = CP = DQ.

On note x la longueur AM (en cm) et A (x) l’aire de MNPQ (en cm²).

1)      Préciser l’ensemble de définition de A.

2)   Démontrer que A (x)=.

3)      Peut-on placer M de telle sorte que :

a)      MNPQ ait pour aire 9 cm² ?

b)      MNPQ ait une aire strictement inférieure à 9 cm² ?

4)      Dresser le tableau de variation de A. Justifier

5)      Quelle est l’aire maximale de MNPQ ? Et son aire minimale ? 

 

Exercice 3 :    (3 points) 

On considère la fonction f définie sur par : .

1)      Ecrire f(x) sans barres de valeur absolue en envisageant les cas x ≤ 0 ; 0 ≤ x ≤ 3 puis x ≥ 3.

2)      Déterminer le sens de variation de la fonction f et dresser son tableau de variation.

3)      Démontrer que f admet un minimum sur . Donner la valeur de ce minimum et la valeur de x pour laquelle il est atteint.

  

Exercice 4 :    (4 points) 

Soit m un nombre réel. On nomme dm la droite d’équation : .

1)      a)  Tracer la droite d0, obtenue pour m = 0.

b)  Tracer d1, d2 et d-1.

2)      Montrer que toutes les droites dm passent par un même point I dont on précisera les coordonnées.

3)      Existe-t-il des droites dm :

a)      passant par A(-1 ; 4) ?

b)   de vecteur directeur ?

   

Exercice 5 :    (4 points) 

Dans le plan muni d’un repère, on considère les points A(-4 ; 1), B(1 ; -1), C(-2 ; 2) et D(-3 ; 3).

On note I le milieu du segment [AB] et G le point tel que .

Le but de cet exercice est de démontrer que les droites (AD), (CI) et (BG) sont concourantes.

1)      Justifier que les points B, C et D sont alignés.

2)   a)  Démontrer que la droite (IC) a pour équation cartésienne .

b)  Déterminer une équation cartésienne de (AD).

c)  Justifier que les droites (AD) et (IC) sont sécantes en un point K dont on déterminera les coordonnées.

3)      Montrer alors que les droites (AD), (CI) et (BG) sont concourantes.