DEVOIR n°1
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Mercredi 14 septembre 2016
1°S3

DEVOIR de Mathématiques (1h50)
(Calculatrice autorisée)

  

I/ Second degré. (6 points)

 Pour tout réel x, on note :       P(x) = (2x – 1)(x + 2) + 4x – 2 – (2x – 1)2

1°)     a) Factoriser P(x).

          b) Développer et réduire P(x).

 2°) En utilisant l’expression la plus adaptée :

          a) Calculer P(3/2) et P(–).

          b) Résoudre dans R l’équation : P(x) = 0.

          c) Résoudre dans R l’équation : P(x) = –5.

          d) Résoudre dans R l’équation : P(x) > 2x – 1.

  

II/ Formats papier. (4 points)

 

Les formats papier ont une propriété bien pratique :

Lorsque l’on coupe une feuille en deux à partir du milieu des longueurs, on obtient deux feuilles ayant les mêmes proportions que la feuille initiale.

 

C’est-à-dire que : si la feuille est un rectangle ABCD où AB est une longueur et BC une

largueur, on note I le milieu de [AB] et J le milieu de [CD]. On a alors :

.

 1°) Résoudre dans R l’équation (E) : x2 = 2.

 2°) On note x le rapport constant :  (Ce sont des longueurs donc : x > 0).

Exprimer AD et AI en fonction de AB et BC.

En déduire une équation vérifiée par x, puis la valeur exacte de x.

 3°) Le format « A0 » correspond à une feuille de papier ayant une surface de 1 m2.

Puis :   le format « A1 » correspond à la moitié d’une feuille « A0 »,

            le format « A2 » correspond à la moitié d’une feuille « A1 »,

            le format « A3 » correspond à la moitié d’une feuille « A2 »,

            le format « A4 » correspond à la moitié d’une feuille « A3 ».

Déterminer les dimensions d’une feuille « A0 », en centimètres à 1 mm près.

En déduire les dimensions d’une feuille « A4 », en centimètres à 1 mm près.

  

III/ Sans coordonnées. (6 points)

 Soit un parallélogramme ABCD, avec AB = 6, AC = 8 et BC = 4 (en centimètres)

On note E, F, G et I les points définis par :

 

 

 

I milieu de [AB]  

1°) Faire une figure.

2°) Démontrer que

3°) Exprimer  en fonction de  et . (Erreur sur le sujet initial : «  et . »)

4°) Démontrer que les vecteurs  et  sont colinéaires.

Que peut-on en déduire pour les points I, E, F ?

5°) Exprimer  et  en fonction de  et .

6°) Démontrer que les vecteurs  et  sont colinéaires.

Que peut-on en déduire pour les points B, E, G ?

  

IV/ Avec coordonnées. (4 points)

 On se place dans un repère (O ;,) avec A(-2 ; 1), B(4 ; -2) et C(5 ; 2)

 1°) Faire une figure que l’on complétera au fur et à mesure.

2°) Déterminer les coordonnées du point D tel ABCD soit un parallélogramme.

3°) Déterminer les coordonnées du point I milieu de [AC].

4°) Déterminer les coordonnées du point E tel que C soit le milieu de [BE].

5°) Déterminer les coordonnées du point F tel que : .

6°) Le quadrilatère BIEF est-il un parallélogramme ? Justifier.