DEVOIR n°9
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TS4

Jeudi 23 mai 2013

Devoir de Mathématiques – 1h50

(Calculatrice autorisée)

  

Exercice I (8 pts)

 Un réparateur de vélos a acheté 30 % de son stock de pneus à un premier fournisseur, 40 % à un deuxième et le reste à un troisième.

Le premier fournisseur produit 80 % de pneus sans défaut, le deuxième 95 % et le troisième 85 %.

 1°) Le réparateur prend au hasard un pneu de son stock.

a) Construire un arbre de probabilité traduisant la situation, et montrer que la probabilité que ce pneu soit sans défaut est égale à 0,875.

b) Sachant que le pneu choisi est sans défaut, quelle est la probabilité qu’il provienne du deuxième fournisseur ? On donnera la valeur arrondie du résultat à 103.

 2°) Le réparateur choisit dix pneus au hasard dans son stock. On suppose que le stock de pneus est suffisamment important pour assimiler ce choix de dix pneus à un tirage avec remise de dix pneus.

Quelle est alors la probabilité qu’au plus un des pneus choisis présente un défaut ? On donnera la valeur arrondie à 103.

 3°) On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de kilomètres parcourus par un pneu, sans crevaison.

On fait l’hypothèse que X suit une loi exponentielle de paramètre l.

On rappelle que, pour tout nombre réel k positif : P(X £ k) = .

a) Montrer que P(500 £ X £ 1 000) = e–500le–1 000l .

b) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

La probabilité que le pneu parcoure entre 500 et 1 000 kilomètres sans crevaison étant égale à 1/4, déterminer la valeur arrondie à 104 du paramètre l.

  

Exercice II (12 pts)

 Partie A : ROC

 

Soit a et b deux réels tels que a < b et f et g deux fonctions continues sur l’intervalle [; b].

On suppose connus les résultats suivants :

(1)     

(2)     Pour tout réel k,

(3)     Si pour tout tÎ[; b], f(t) ³ 0 alors .

Montrer que : si pour tout tÎ[; b], f(t) £ g(t) alors .

Partie B

 Soit n un entier naturel non nul. On appelle fn la fonction définie sur [0 ; +¥[ par :          fn(x) = ln(1 + xn)

et on pose :  In = .

On note Cn la courbe représentative de la fonction fn dans un repère orthonormal (O ; ).

 1°) a)  Déterminer la limite de f1 en +¥.

      b)  Etudier les variations de f1 sur [0 ; +¥[.

      c)  Soit u la fonction définie sur [0 ; +¥[ par  u(x) = (x + 1) ln(x + 1).

           Calculer u’(x). En déduire une primitive de f1 sur [0 ; +¥[,

           puis la valeur de I1. Interpréter ce résultat. 

2°) a)  Montrer que pour tout entier naturel non nul n, on a : 0 £ In £ ln 2.

      b)  Etudier les variations de la suite (In).

      c)  En déduire que la suite (In) est convergente. 

3°) Soit g la fonction définie sur [0 ; +¥[ par : g(x) = ln(1 + x) – x.

a)      Etudier le sens de variation de g sur [0 ; +¥[.

b)      En déduire le signe de g sur [0 ; +¥[. Montrer alors que pour tout entier naturel non nul n, et pour tout réel positif x, on a : ln(1 + xn) £ xn.

c)      En déduire la limite de la suite (In).