DEVOIR n°8 - BB2
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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

 

SESSION avril 2013 

MATHÉMATIQUES 

Série S

 

Durée de l’épreuve : 4 heures              Coefficient : 7 ou 9  

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées,

conformément à la réglementation en vigueur.

 
 

Exercice 1 (4 points)

 Commun à tous les candidats

 Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).

Pour chaque question une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, un demi-point est enlevé pour une réponse inexacte, aucun point attribué ou enlevé pour une absence de réponse.

 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O, ).

 1. Soit (E) l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant : z = 1 − 2i + e, θ étant un nombre réel.

          a. (E) est une droite passant par le point d’affixe 2 − 2i.

          b. (E) est le cercle de centre d’affixe −1 + 2i et de rayon 1.

          c. (E) est le cercle de centre d’affixe 1 − 2i et de rayon 1.

          d. (E) est le cercle de centre d’affixe 1 − 2i et de rayon .

 2. Soit f l’application du plan qui, à tout point M d’affixe z associe le point M′ d’affixe z′ tel que

 z′ = −iz − 2i.

          a. Le point d’affixe –1 – 2i est un antécédent du point d’affixe i par f.

          b. Si z = 2 – 2i, alors M et M’ sont confondus.

          c. Si |z’| = 1, alors M est un point du cercle de centre A d’affixe –2 et de rayon 1.

          d. Si arg(z) =  (mod 2p) alors le point M’ décrit une droite.

 3. Soit (F) l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant |z − 1 + i| = |z + 1 + 2i|.

Soient les points A, B et C d’affixes respectives 1 − i, −1 + 2i et −1 − 2i.

          a. C est un point de (F).

          b. (F) est la médiatrice du segment [AB].

          c. (F) est la médiatrice du segment [AC].

          d. (F) est le cercle de diamètre [AB].

 4. On considère dans l’ensemble des nombres complexes l’équation z + |z|2 = 7 + i.

Cette équation admet :

          a. Deux solutions distinctes qui ont pour partie imaginaire 1.

          b. Une solution réelle.

          c. Deux solutions dont une seule a pour partie imaginaire 1.

          d. Une solution qui a pour partie imaginaire 2.


 

Exercice 2 (6 points)

 Commun à tous les candidats

 Soit f la fonction définie sur R par

f(x) = 1 − .

 On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O, ).

Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe C. Elle coupe l’axe des abscisses aux points A et B.

 

 

 Partie A

 L’objet de cette partie est de démontrer certaines propriétés de la fonction f que l’on peut conjecturer à partir du graphique.

 1. La fonction f semble croissante sur l’intervalle [0 ; +¥[.

          a. Vérifier que pour tout réel x, f’(x) = .

          b. En déduire le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +¥[.

2. La droite d’équation x = 0 semble être un axe de symétrie de la courbe C.

          Démontrer que cette conjecture est vraie.

3. On désigne par a l’abscisse du point A et on pose c = ea.

          a. Démontrer que le réel c est une solution de l’équation x2 − 4x + 1 = 0.

          En déduire la valeur exacte de a.

          b. Donner le signe de f(x) selon les valeurs de x.

 Partie B

 L’objet de cette partie est d’étudier quelques propriétés de la fonction F définie sur R par :

F(x) =

 1. Déterminer les variations de la fonction F sur R.

2. Interpréter géométriquement le réel F(a). En déduire que −a £ F(a) £ 0.

3. On cherche la limite éventuelle de F en +¥.

          a. Démontrer que pour tout réel positif t , f(t ) ³ 1 − 4et.

          b. En déduire que pour tout réel positif x, F(x) ³ x − 4 et déterminer la limite de F(x) lorsque x

          tend vers +¥.

4. Dans cette question, toute trace de recherche ou d’initiative, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.

          Déterminer la limite de F(x) lorsque x tend vers −¥.

 
 

Exercice 3 (5 points)

 Commun à tous les candidats

 L’espace est rapporté à un repère orthonormé (O, ).

On considère la droite D passant par le point A de coordonnées (3 ; −4 ; 1) et dont un vecteur directeur est (1 ; −3 ; 1).

On considère la droite D’ dont une représentation paramétrique est :

      tÎR.

On admet qu’il existe une unique droite D perpendiculaire aux droites D et D’. On se propose de déterminer une représentation paramétrique de cette droite D et de calculer la distance entre les droites D et D’, distance qui sera définie à la question 5.

On note H le point d’intersection des droites D et D, H’ le point d’intersection des droites D’ et D. On appelle P le plan contenant la droite D et la droite D. On admet que le plan P et la droite D’ sont sécants en H’. Une figure est donnée en annexe.

 1. On considère le vecteur  de coordonnées (1 ; 0 ; −1). Démontrer que  est un vecteur directeur de la droite D.

 2. Soit  le vecteur de coordonnées (3 ; 2 ; 3).

          a. Démontrer que le vecteur  est normal au plan P.

          b. Montrer qu’une équation cartésienne du plan P est : 3x + 2y + 3z − 4 = 0.

 3.       a. Démontrer que le point H’ a pour coordonnées (−1 ; 2 ; 1).

          b. En déduire une représentation paramétrique de la droite D.

 4. a. Déterminer les coordonnées du point H.

          b. Calculer la longueur HH’.

 5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

L’objectif de cette question est démontrer que, pour tout point M appartenant à D et tout point M’ appartenant à D’, MM ³ HH’.

          a. Montrer que  peut s’écrire comme la somme de  et d’un vecteur orthogonal à

          .

          b. En déduire que 2 ³ 2 et conclure.

 La longueur HH réalise donc le minimum des distances entre une point de D et une point de D. On l’appelle distance entre les droites D et D’.


 

Exercice 4 (5 points)

 Candidats ne suivant pas l’enseignement de spécialité mathématiques.

 Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure ci-dessous.

 

 

 

 

 

 On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups.

 1. Le joueur lance une fléchette.

On note p0 la probabilité d’obtenir 0 point.

On note p3 la probabilité d’obtenir 3 points.

On note p5 la probabilité d’obtenir 5 points.

On a donc p0 +p3 +p5 = 1.

Sachant que p5 = p3 et que p5 = p0 déterminer les valeurs de p0, p3 et p5.

 2. Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum. Le joueur gagne la partie s’il obtient un total (pour les 3 lancers) supérieur ou égal à 8 points. Si au bout de 2 lancers, il a un total supérieur ou égal à 8 points, il ne lance pas la troisième fléchette.

On note G2 l’évènement : « le joueur gagne la partie en 2 lancers ».

On note G3 l’évènement : « le joueur gagne la partie en 3 lancers ».

On note P l’évènement : « le joueur perd la partie ».

On note p(A) la probabilité d’un évènement A.

          a. Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que p (G2) = .

On admettra dans la suite que p (G3) =

          b. En déduire p(P).

 3. Un joueur joue six parties avec les règles données à la question 2.

Quelle est la probabilité qu’il gagne au moins une partie ?

 4. Pour une partie, la mise est fixée à 2 €.

Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5€. S’il gagne en trois lancers, il reçoit 3€. S’il perd, il ne reçoit rien.

On note X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie. Les valeurs possibles pour X sont donc : −2, 1 et 3.

          a. Donner la loi de probabilité de X.

          b. Déterminer l’espérance mathématique de X. Le jeu est-il favorable au joueur ?


 

Exercice 4 (5 points)

 Candidats suivant l’enseignement de spécialité mathématiques.

 Les chouettes tachetées sont les principaux prédateurs d’une espèce de souris vivant dans la même région. On cherche à étudier l’évolution des deux populations mois après mois. Notons un la population des chouettes et vn celle des souris (en milliers) au nème mois. On suppose :

 1°)     a) S’il n’y avait aucune souris, comment évoluerait la population de chouettes ?

          b) S’il n’y avait aucune chouette, que se passerait-il pour la population de souris ?

 2°) Notons Xn = , pour tout entier n.

a)      Ecrire le système linéaire sous la forme d’une égalité matricielle du type Xn+1 = AXn où A est une matrice carrée d’ordre 2 que l’on précisera.

b)      Démontrer soigneusement que l’on a Xn = An X0 pour tout nÎN.

 3°) On pose X0 = .

a)      Calculer, à la main, la population de chacune des deux espèces après un mois.

b)      En utilisant la calculatrice, calculer (à l’unité près) X6 et X12.

 4°) Soit P = .

a)      Calculer P-1 à la calculatrice.

b)      Démontrer, à la main, que D = P-1A P est une matrice diagonale.

c)      En déduire que A = P D P-1.

On admet qu’alors, pour tout nÎN, An = P Dn P-1.

d)      Exprimer Dn.

On admet qu’on a alors : An = .

e)      En déduire que, pour tout nÎN : .

 5°) Que peut-on en déduire quant à l’évolution de la répartition des deux populations lorsque n tend vers +¥ ?


 

Annexe

 Exercice 3