DEVOIR n°3
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Jeudi 15 novembre 2012
T°S

DEVOIR de Mathématiques (1h50)
(Calculatrice autorisée)

  

Exercice 1 (5 points)

 Démonstrations de propriétés du cours.

 1°) Soit a >0. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n : (1 + a)n ³ 1 + na.

2°) Déduire du la limite de qn lorsque q > 1.

3°) Déduire du la limite de qn lorsque 0 < q < 1.

4°) Application : Soit u une suite géométrique de premier terme u1 ¹ 0 et de raison qÎ]0 ; 1[.

Pour tout entier naturel n, on note Sn = u1 + u2 + ... + un.

Rappeler l’expression de Sn en fonction de u1, q et n (On ne demande pas de redémontrer cette formule). Déterminer la limite de Sn.

 

Exercice 2 (6 points)

 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O ; ).

On réalisera sur feuille une figure en prenant pour unité 2 cm. On complétera cette figure au fur et à mesure des questions. On considère les points A, B et C du plan complexe d’affixes respectives :

            a = –1 + 2i,     b = –2 – i,       c = –3 + i.

 1°) Placer les points A, B et C sur le graphique.

2°) Calculer , en déduire la nature du triangle OAB.

3°) On considère l’application f qui à tout point M d’affixe z avec z ¹ b, associe le point M’ d’affixe z’ définie par :

           

a)      Calculer l’affixe c’ du point C’, image de C par f et placer le point C’ sur la figure.

b)      Déterminer l’ensemble (E) des points M d’affixe z avec z ¹ b, tels que :          |z’| = 1.

c)      Justifier que (E) contient les points O et C. Tracer (E).

4°) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.

Soit J et K les points d’affixes respectives j et k tels que : j = –ia et k = ic.

On note L le milieu de [JK].

Démontrer que la médiane issue de O du triangle OJK est la hauteur issue de O du triangle OAC.

  

Exercice 3 (9 points)

 Soit f la fonction définie sur R\{0 ; 2} par :                  .

1°) Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

En déduire les asymptotes à la courbe (Cf) représentative de f.

2°) Démontrer que pour tout xÎR\{0 ; 2} : .

En déduire les variations de f et dresser son tableau de variations complet.

3°) Tracer les asymptotes et la courbe (Cf) dans un repère orthonormé. (unité 1 cm)