Interro Spé n°5
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Mercredi 28 mars 2012 
  Term S

DEVOIR de Spécialité Mathématique (1h50)
(Calculatrice autorisée)

   

Exercice 1 (10 points)

 Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

Soit n un entier naturel non nul.

 1. On considère l’équation notée (E) :
            3x + 7y = 102n  où x et y sont des entiers relatifs.

a. Déterminer un couple (; v) d’entiers relatifs tels que  3u + 7v = 1.

En déduire une solution particulière (x; y0) de l’équation (E).

b. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs (; y) solutions de (E). 

2. on considère l’équation notée (G) :
            3x2 + 7y2 = 102n  où x et y sont des entiers relatifs.

a. Montrer que 100 º 2 (modulo 7).

Démontrer que si (; y) est solution de (G) alors 3x2 º 2n (modulo 7).

b. Reproduire et compléter le tableau suivant :

Reste de la division euclidienne de x par 7.

0

1

2

3

4

5

6

Reste de la division euclidienne de 3x2 par 7.

 

 

 

 

 

 

 

c. Démontrer que 2n est congru à 1, 2 ou 4 modulo 7.

En déduire que l’équation (G) n’admet pas de solution.

  

Exercice 2 (10 points)

 On considère un carré direct ABCD (c'est-à-dire un carré ABCD tel que ( ; ) =  [2p]) de centre I. Soit J, K et L les milieux respectifs des segments [AB], [CD] et [DA]. G1 désigne le cercle de diamètre [AI] et G2 désigne le cercle de diamètre [BK].

 Partie A

 1. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude directe s telle que s(A) = I et s(B) = K. 

2. Montrer que les cercles G1 et G2 se coupent en deux points distincts : le point J et le centre W de la similitude directe s. 

3. a. Déterminer les images par s des droites (AC) et (BC). En déduire l’image du point C par s.

b. Soit E l’image du point I. Démontrer que E est le milieu du segment [ID]. 

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer que les points A, W et E sont alignés.

(On pourra considérer la transformation t = s o s). 

Partie B 

Désormais, on considère que le côté du carré mesure 10 unités et on se place dans le repère orthonormé direct (A ;  ; ).

1. Donner les affixes des points A, B, C et D. 

2. Démontrer que la similitude directe s a pour écriture complexe :
            z’ = z + 5 + 5i.

3. Calculer l’affixe w du centre W de s. 

4. Calculer l’affixe zE du point E et retrouver l’alignement des points A, W et E. 

5. Démontrer que les droites (AE), (CL) et (DJ) dont concourantes au point W.