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Octobre 2011        
 T°S4

Interrogation de Mathématiques (55 min)
(Calculatrice autorisée)

  

I/ Suite géométrique (7 points)

 Soit v une suite géométrique de raison q, de premier terme v0 telle que : v3 = 18 et v5 = 162.

 1°) Calculer la raison q et le premier terme v0 de la suite v.

2°) Calculer v8.

3°) Déterminer la monotonie et la convergence éventuelle de la suite v.

  

II/ Suite arithmético-géométrique (7 points)

 Soit u la suite définie par :

·        u0 = 8

·        un + 1 = –un + 5, pour tout nÎN.

 1°) Soit v la suite définie par : vn = una, pour tout nÎN.

Déterminer la valeur de a pour que la suite v soit géométrique.

Quelle est alors sa raison et son premier terme ?

 Dans la suite de l’exercice, on pose : a = 4.

 2°) Pour tout nÎN, exprimer vn, puis un, en fonction de n.

3°) En déduire la convergence éventuelle de la suite u.

4°) Pour tout nÎN, on pose : Sn = u0 + u1 + … + un.

a)      Pour tout nÎN, exprimer Sn en fonction de n.

b)     En déduire la convergence éventuelle de la suite S.

  

III/ Nombres complexes (6 points)

 On note : P(z) = z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i, où zÎC.

 1°) Calculer P(-1) et P(i).

2°) Déterminer l’unique racine imaginaire pure de P.

3°) Déterminer a, b et c tels que, pour tout zÎC, P(z) = (z – 2i)(az2 + bz + c).

4°) Résoudre dans C l’équation : P(z) = 0.