Devoir n°6
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Jeudi 16 février 2012   
    T°S4

DEVOIR de Mathématiques (3h)
(Calculatrice autorisée)

 

Exercice 1 (6 points)

Une urne contient trois dés équilibrés. Deux d’entre eux sont verts et possèdent six faces numérotées de 1 à 6. Le troisième est rouge et possède deux faces numérotées 1 et quatre faces numérotées 6.

On prend un dé au hasard dans l’urne et on le lance. On note :

V l’évènement : « le dé tiré est vert »

R l’évènement : « le dé tiré est rouge »

S1 l’évènement : « on obtient 6 au lancer du dé ».

1. On tire au hasard un dé et on effectue un lancer de celui-ci.

a. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous.

b. Calculer la probabilité P(S1).

 2. On tire au hasard un dé de l’urne. On lance ensuite ce dé n fois de suite. On note Sn l’évènement : « on obtient 6 à chacun des n lancers ».

a. Démontrer que :

P(Sn) = .

b. Pour tout entier naturel n non nul, on note pn la probabilité d’avoir tiré le dé rouge, sachant qu’on a obtenu le numéro 6 à chacun des n lancers.

Démontrer que :

pn =

c. Déterminer le plus petit entier n0 tel que pn ³ 0,999 pour tout n ³ n0.

 

Exercice 2 (5,5 points)

 

Un chariot de masse 200 kg se déplace sur une voie rectiligne et horizontale. Il est soumis à une force d’entraînement constante  de valeur 50 N. Les forces de frottement sont proportionnelles à la vitesse et de sens contraire ; le coef-ficient de proportionnalité a pour valeur absolue 25 N.m−1.s.

La position du chariot est repérée par la distance x, en mètres, du point H à l’origine O du repère en fonction du temps t, exprimé en secondes. On prendra t dans l’intervalle [0 ; +∞[. Les lois de Newton conduisent à l’équation différentielle du mouvement

 (E)       25x′ + 200x′′ = 50, où

x′ est la dérivée de x par rapport au temps t ,

x′′ est la dérivée seconde de x par rapport au temps t .

 1. On note v(t) la vitesse du chariot au temps t ; on rappelle que v(t) = x′(t).

Prouver que x est solution de (E) si et seulement si x′ est solution de l’équation différentielle (F)  v′ = .

Résoudre l’équation différentielle (F).

 2. On suppose que, à l’instant t = 0, on a : x(0) = 0 et x′(0) = 0.

a. Calculer, pour tout nombre réel t positif, x′(t).

b. En déduire que l’on a, pour tout nombre réel t positif, x(t) = 2t − 16 + 16et/8.

 3. Calculer V = . Pour quelles valeurs de t la vitesse du chariot est-elle inférieure ou égale à 90% de sa valeur limite V ?

 4. Quelle est la distance parcourue par le chariot au bout de 30 secondes ? On exprimera cette distance en mètres, au décimètre près.

  

Exercice 3 (5 points)

 Cet exercice constitue une restitution organisée de connaissances.

 Partie A : Question de cours

 On suppose connus les résultats suivants :

(1) deux suites (un) et (vn) sont adjacentes lorsque : l’une est croissante, l’autre est décroissante et un −vn tend vers 0 quand n tend vers +∞ ;

(2) si (un) et (vn) sont deux suites adjacentes telles que (un) est croissante et (vn) est décroissante, alors pour tout n appartenant à N, on a un £ vn ;

(3) toute suite croissante et majorée est convergente ; toute suite décroissante et minorée est convergente.

 Démontrer alors la proposition suivante :

« Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite ».

 Partie B

 On considère une suite (un), définie sur N dont aucun terme n’est nul. On définit alors la suite (vn) sur N par vn = .

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d’une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

1. Si (un) est convergente, alors (vn) est convergente.

2. Si (un) est minorée par 2, alors (vn) est minorée par 1.

3. Si (un) est décroissante, alors (vn) est croissante.

4. Si (un) est divergente, alors (vn) converge vers zéro.

  

Exercice 4 (3,5 points)

 Une suite (un) est définie par u0 = 5 et un+1 =  pour tout entier n.

1°) Pour tout entier n, on pose : vn = ln un – ln 10.

Démontrer que la suite (vn) est géométrique.

 2°) Exprimer vn, puis un en fonction de n, et étudier la convergence de (un).