Devoir n°5
Accueil Remonter
 mail2.gif (4196 octets) écrivez-moi pour me faire part de vos remarques.

Devoir n°1 Devoir n°2 Interro Spé n°1 Interro n°1 Devoir n°3 Interro Spé n°2 Bac Blanc 1 Devoir n°5 Interro Spé n°3 Interro n°2 Interro Spé n°4 Interro n°3 Devoir n°6 Interro Spé n°5 Devoir n°7 Bac Blanc 2

Mercredi 11 janvier 2012 
 T°S
1-4

DEVOIR de Mathématiques (1h50)
(Calculatrice autorisée)

 

Exercice 1 (9 points)

 Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (O, ) d’unité graphique 2 cm.

On considère les points A et B d’affixes respectives zA = 1+i, zB = 2i.

 1. a. Écrire zA et zB sous forme exponentielle.

b. Placer les points A et B sur une figure que l’on complètera au cours de l’exercice.

c. Déterminer la nature du triangle OAB.

 2. On note r la rotation de centre O qui transforme A en B. Pour tout point M d’affixe z, on note M’ l’image de M par r et z l’affixe du point M’.

a. Calculer un argument du quotient . Interpréter géométriquement ce résultat.

b. En déduire l’écriture complexe de la rotation r.

 3. Soient G le cercle de centre A passant par O et G’ le cercle de centre B passant par O.

Soit C le deuxième point d’intersection de G et G’ (autre que O). On note zC son affixe.

a. Justifier que le cercle G’ est l’image du cercle G par la rotation r.

b. Calculer l’affixe zI du milieu I de [AB].

c. Déterminer la nature du quadrilatère OACB.

d. En déduire que I est le milieu de [OC] puis montrer que l’affixe de C est :

zC = 1 + (2 + )i.

 4. Soit D le point d’affixe zD = 2i.

a. Justifier que le point D appartient au cercle G. Placer D sur la figure.

b. Placer D’ image de D par la rotation r définie à la question 2.

On note zD’ l’affixe de D’.

Montrer que zD’ = − + 3i.

 5. Montrer que les vecteurs  et  sont colinéaires. Que peut-on en déduire ?

  

Exercice 2 (11 points)

 Partie A. Etude d’une fonction auxiliaire g.

 La fonction g est définie sur R par : g(x) = (2 – x) e x + 1.

 1) Calculer la limite de g en +¥.

 2) Déterminer le sens de variation de g sur R.

 3) Démontrer que g(x) > 0 sur ]-¥ ; 2[ et que l’équation g(x) = 0 admet une solution unique a sur [2 ; +¥ [ et vérifier que 2,12 < a < 2,13.

En déduire le signe de g(x) en fonction de x.

4) Montrer que .

 Partie B. Restitution organisée des connaissances.

On suppose connu le résultat suivant : .

Rappeler la limite  et la démontrer.

 Partie C. Etude d’une fonction f.

 La fonction f est définie sur R par f(x) = . On note C la

 représentation graphique de f dans un repère orthogonal (unités : 2 cm en abscisses et 8 cm en ordonnées).

1) Calculer les limite de f en –¥ et en +¥.

 2=En déduire que la courbe C admet une asymptote horizontale et démontrer qu’elle admet une asymptote oblique d’équation y = x – 1.

 3) Montrer que f est dérivable sur R et montrer que f’ est du signe de g sur R.

 4) En déduire le sens de variation de f sur R.

 5) Montrer que f(a) = a – 2 où a est le réel trouvé dans la partie A puis en déduire une valeur approchée de f(a).

 6) Tracer C et placer le point A(a, f(a)).