Bac Blanc 1
Accueil Remonter
 mail2.gif (4196 octets) écrivez-moi pour me faire part de vos remarques.

Devoir n°1 Devoir n°2 Interro Spé n°1 Interro n°1 Devoir n°3 Interro Spé n°2 Bac Blanc 1 Devoir n°5 Interro Spé n°3 Interro n°2 Interro Spé n°4 Interro n°3 Devoir n°6 Interro Spé n°5 Devoir n°7 Bac Blanc 2

Mercredi 6 décembre 2011
     T°S

 

Mathématiques
Bac Blanc

Calculatrice autorisée
4h

  

Exercice 1 (5 points)

 Pour chaque question, indiquer uniquement le numéro correspondant à la bonne réponse, aucune justification n’est demandée.

 (Réponse correcte : + 0,5 pt … Absence de réponse : 0 pt … Mauvaise réponse : – 0,25 pt)

(Si la note finale de l’exercice est négative elle est ramenée à 0)

 

1. L’unique solution de l’équation  est :

a)                    b)                    c)                  d)

 

2. Soit z un nombre complexe non nul ayant pour argument q, alors un argument du nombre complexe  est :

a)                   b)                   c)                    d)

 

3. Soit nÎN, le nombre complexe  est un imaginaire pur si et seulement si :

a) n = 6k, kÎZ.           b) n = 6k + 1, kÎZ.     c) n = 6k + 2, kÎZ.     d) n = 6k + 3, kÎZ.

 

4. Pour tout nombre complexe z, |z + i| est égal à :

a) |zi|                       b) |z| + 1                      c) |z – 1|                      d) |i + 1|

 

5. Soit M un point du plan complexe d’affixe z, et (C) le cercle de centre O et de rayon 1.

On peut dire que MÎ(C) si et seulement si :

a) Re(z) = Im(z).          b)  = z.                     c) z2 + 1 = 0.               d) z – 1 = 0.

 

6. Soit  et  deux vecteurs du plan complexe d’affixes respectives z et z’, on note. le  produit scalaire de ces deux vecteurs, alors :

a) . = Re(zz’).       b) . = Im(zz’).        c) . = Re(z).       d) . = Im(z).

 

7. Soit a, b et c trois réels (avec a ¹ 0) et (E) l’équation az2 + bz + c = 0 d’inconnue complexe z.

On peut dire que z est solution de (E) si et seulement si :

a) x = Re(z) et y = Im(z) sont solutions de (E).

b)  est solution de (E).

c)z est solution de (E).

d)  est solution de (E).

8. Dans le plan complexe, l’ensemble des points M d’affixe z = x + iy vérifiant |z – 1| = |z + i| est la droite d’équation :

a) y = x – 1.                b) y = –x.                    c) y = –x + 1.              d) y = x.

 

9. Dans le plan complexe, l’ensemble des points M d’affixe z = x + iy vérifiant [2p] est :

a) un cercle privé de deux points.

b) un demi-cercle privé de deux points.

c) une droite privée de deux points.

d) une demi-droite privée de deux points.

 

10. Soit A, B et C trois points du plan complexe d’affixes respectives zA, zB et zC non nulles.

a) A, B et C sont alignés si et seulement si :  = 0 [2p].

b) A, B et C sont alignés si et seulement si : .

c) Si [2p] alors les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.

d) Si les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires alors [2p].

  

Exercice 2 (5 points) Pour les élèves suivant la Spécialité Mathématique…

Des nombres étranges !

 Les nombres 1 ; 11 ; 111 ; 1111 etc. sont des nombres que l’on appelle rep-units (répétition de l’unité). Ils ne s’écrivent qu’avec des chiffres 1. Ces nombres possèdent de nombreuses propriétés qui passionnent des mathématiciens.

Cet exercice propose d’en découvrir quelques unes.

Pour k entier strictement positif, on note Nk le rep-unit qui s’écrit à l’aide de k chiffres 1.

Ainsi N1 = 1, N2 = 11, N3 = 111, …

 1. Citer deux nombres premiers inférieurs à 10 n’apparaissant jamais dans la décomposition en produit de facteurs premiers d’un rep-unit.

Justifier brièvement la réponse.

 2. Donner la décomposition en facteurs premiers de N3, N4 et N5.

 3. Soit n un entier strictement supérieur à 1. On suppose que l’écriture décimale de n2 se termine par le chiffre 1.

a) Montrer que, dans son écriture décimale, n se termine lui-même par 1 ou par 9.

b) Montrer qu’il existe un entier m tel que n s’écrive sous la forme  10m + 1  ou  10m − 1.

c) En déduire que n2 º 1 (20).

 4. a) Soit k ³ 2. Quel est le reste de la division de Nk par 20 ?

b) En déduire qu’un rep-unit distinct de 1 n’est pas un carré.

 

Exercice 2 (5 points) Pour les élèves ne suivant pas la Spécialité Mathématique…

 On considère la suite (un)nÎN définie par :

u0 = 5 et, pour tout entier n ³ 1, un = .

 1. a. Calculer u1.

b. Les valeurs de u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8, u9, u10, u11 sont respectivement égales à :

45, 77, 117, 165, 221, 285, 357, 437, 525, 621.

À partir de ces données conjecturer la nature de la suite (dn)nÎN définie par  dn = un+1un.

 2. On considère la suite arithmétique (vn)nÎN de raison 8 et de premier terme v0 = 16.

Justifier que la somme des n premiers termes de cette suite est égale à : 4n2 + 12n.

 3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : un = 4n2 + 12n + 5.

 4. Valider la conjecture émise à la question 1. b..

 

Exercice 3 (4 points)

 Les parties 1 et 2 portent sur un même thème, la dérivation, mais sont indépendantes.

 1. Restitution organisée de connaissances

La formule donnant la dérivée du produit de deux fonctions dérivables est supposée connue. On a énoncé ci-dessous deux propositions désignées par P et Q. Dire pour chacune d’elles si elle est vraie ou fausse et justifier votre réponse.

Dans cet exercice n désigne un entier naturel strictement supérieur à 1.

 P : Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x n; alors f est dérivable sur R, de dérivée f’ donnée sur R par : f’(x) = n x n – 1.

 Q : Soit u une fonction dérivable sur R et soit f la fonction définie sur R par f = u n ; alors f est dérivable sur R, de dérivée f’ donnée par f’ = n u n – 1.

 2. On désigne par g la fonction définie sur ]−1 ; 1[ par g(0) = 0 et , où g’ désigne la

dérivée de la fonction g sur ]−1 ; 1[ ; on ne cherchera pas à expliciter g(x).

On considère alors la fonction composée h définie sur ]−π ; 0[ par h(x) = g(cos x).

a. Démontrer que pour tout x de ]−π ; 0[ on a h’(x) = 1, où h’ désigne la dérivée de h.

b. Calculer  puis donner l’expression de h(x).

  

Exercice 4 (6 points)

 Soit f la fonction définie sur Df =  par :

f(x) = 2 sin x + tan x – 3x.

 1. Etudier la parité de f et en déduire qu’il suffit d’étudier f sur De = .

 2. Démontrer que f’(x) est du signe de g(x) = 2 cos3 x – 3 cos2 x + 1 sur De.

 3. a) Déterminer une factorisation du polynôme P(X) = 2X 3 – 3X 2 + 1.

b) En déduire que, pour x ¹ 0, f’(x) est du signe de (cos x + ½) sur De.

 4. a) Etudier les variations de f sur De.

b) Dresser le tableau de variations complet de f sur De.

(Le tracé de la courbe représentative de f n’est pas demandé)

 5. Démontrer que, pour tout xÎ, on a : .

Cette inégalité est due au mathématicien néerlandais Christian Huygens qui la démontra géométriquement au 17ème siècle.

 6. Résoudre l’équation f(x) = -3x sur De.