Devoir n°3
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Mardi 8 novembre 2011
             T°S4

DEVOIR de Mathématiques (3h)
(Calculatrice autorisée)

 

Exercice 1 (8 points) 

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O ;), on considère les points A, B et C d’affixes respectives :

a = ½ i , b = -2 et c = i. 

À tout point M, distinct de B, d’affixe z, on associe le point M’ d’affixe z’ telle que : z’ = j(z), où :

                                              

 1°) Déterminer l’image de C.

 2°) Déterminer l’antécédent de C.

 3°) On recherche les points invariants, c'est-à-dire les points M d’affixe z telle que j (z) = z.

a)      Démontrer que j(z) = z si et seulement si z2 = -i.

b)      En déduire |z| et arg(z).

c)      Déterminer les points invariants par j.

 4°) Interpréter géométriquement |j(z)| en fonction de A, B et M.

En déduire l’ensemble (D) des points M d’affixe z telle que |j(z)| = 2.

 5°) Soit (E) l’ensemble des points M d’affixe z telle que j(z) est un réel

et (F) l’ensemble des points M d’affixe z telle que j(z) est un imaginaire pur.

On souhaite ici déterminer les ensembles (E) et (F) par deux méthodes différentes.

a)      Première Méthode.
On note z = x + iy, où x
ÎR et yÎR et j(z)  = x’ + iy’, où x’ÎR et y’ÎR.
Exprimer x’ et y’ en fonction de x et de y.
En déduire des équations des ensembles (E) et (F) et leur nature.

b)      Deuxième Méthode.
Interpréter géométriquement arg(
j(z)) en fonction A, B et M.
En déduire la nature et les éléments caractéristiques des ensembles (E) et (F).

 6°) Tracer les ensembles et les points obtenus dans les questions précédentes.

(unité graphique : 5 cm)

  

Exercice 2 (7 points)

 Partie A

 Soit g la fonction définie sur R par : g(x) = x3 + x2x + 1.

 1°) Etudier les variations de g.

2°) Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution a et en donner une valeur approchée à 10-1 près.

3°) En déduire le signe de g(x) sur R en fonction de x.

 

Partie B

Soit f la fonction définie sur Df = ]-¥ ; -1[È[1 ; +¥[ par : .

On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormal

 1°) Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

En déduire l’existence d’une droite asymptote à la courbe Cf.

2°) Etudier la dérivabilité de f sur Df.

Que peut-on en déduire pour la courbe Cf ?

3°) Démontrer que, pour tout xÎ]-¥ ; -1[È]1 ; +¥[ : .

4°) En déduire les variations de f et dresser son tableau de variations complet.

 5°) Démontrer que la droite d’équation y = x – 1 est une asymptote oblique à Cf en -¥ et en +¥.

 6°) Tracer la courbe Cf. (unité graphique : 2 cm)

Exercice 3 (5 points)

 Soit f la fonction définie sur R\{-4} par :           

et Cf sa courbe représentative représentée dans le repère ci-contre

 On considère les suites (un) et (vn) définies,

pour tout entier naturel n, par :

            et        

 1°) Calculer u1, u2, v1 et v2.

 2°) Dans le repère ci-contre tracer la droite (D) d’équation y = x.

Utiliser Cf et (D) pour construire sur l’axe des abscisses,

les points A0, A1, A2 d’abscisses respectives u0, u1, u2

ainsi que les points B0, B1, B2 d’abscisses respectives v0, v1, v2.

 3°) On considère la suite (wn) définie, pour tout entier naturel n, par :

           

a)      Montrer que la suite (wn) est une suite géométrique de raison 2/5 dont on précisera le premier terme.

b)      En déduire l’expression de wn puis de un en fonction de n.

c)      Montrer que la suite (un) est convergente. Préciser sa limite.

 4°) En reprenant la même méthode pour la suite (vn), écrire sans les justifier une expression de vn en fonction de n et la limite de la suite (vn).