Devoir n°2
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Jeudi 6 octobre 2011                                                                                                                  Term S4

DEVOIR de MATHEMATIQUES (2h)
(Calculatrice autorisée)

 

I/ Nombres complexes. (5 points)

1°) Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants :

            a = (2 + 3i)2

            b =

            c =

2°) Résoudre dans C les équations suivantes :

a)      iz + 1 = 2z + 8i.

b)       – i = 3 + 3

  

II/ Trigonométrie. (3 points)

Résoudre dans ]-p ; p] l’équation suivante :                             2 + cos 2x = 3 cos x.

  

III/ Continuité et dérivabilité. (5 points)

Etudier la continuité et la dérivabilité de la fonction f définie sur R par :

           

  

IV/ Etude de fonctions. (7 points)

Partie A

Soit la fonction g définie sur R par :                                         g(x) = x4 + 16x3 + 3.

 

1°) Étudier le sens de variation de g sur R.

2°) Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet deux solutions a et b dans R dont on donnera, des valeurs approchées à 10-2 près.

3°) En déduire le signe de g(x) en fonction de x.

Partie B

Soit la fonction f définie sur R\{-4} par :                                  f(x) =

1°) Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

2°) Montrer que, sur R\{-4}, f’(x) est du même signe que g(x).

3°) En déduire les variations de f et dresser son tableau de variation complet.

4°) Proposer une fenêtre (xmin , xmax , ymin , ymax) à paramétrer sur une calculatrice graphique pour visualiser correctement la courbe représentative de f. (le tracé n’est pas demandé)

  

- Il sera tenu compte de la présentation et de la rédaction de la copie -