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Mercredi 21 septembre 2011                                                                                                      T°S

DEVOIR de Mathématiques (1h50)

(Calculatrice non autorisée)

  

I/ Etude d’une fonction rationnelle. (6 points)

 Soit f la fonction définie sur R\{1} par : f(x) = –2x + 1 +

On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormal. (unité graphique : 1 cm)

 1°) Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

2°) Déterminer les équations des deux asymptotes à la courbe Cf et la position de Cf par rapport à son asymptote oblique.

3°) Déterminer une expression de la fonction dérivée f’ de f.

4°) Déterminer le signe de x2 – 3x + 3 sur R.

Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations complet.

5°) Déterminer une équation de la tangente à la courbe Cf au point d’abscisse 2.

6°) Tracer la courbe Cf.

  

II/ Valeurs remarquables. (4 points)

 Soit xÎ[0 ; p[ tel que : tan x =  – 2

 1°) Calculer tan2 x puis en déduire la valeur de cos x.

2°) Calculer tan(2x).

3°) En déduire la valeur de x.

  

III/ Equations. (5 points)

 Résoudre dans R puis dans ]- p ; p] les équations suivantes :

1°) cos 3x =

2°) tan x = 2 sin2 x.

  

IV/ Etude d’une fonction trigonométrique. (5 points)

 Soit f la fonction définie sur [-π ; π] par : f(x) = cos 2x + cos x + .

 1°) Etudier la parité de f et justifier que l’on peut restreindre l’étude de f à [0 ; π].

2°) Démontrer que pour tout x de [0 ; π], on a : f’(x) = sin x (2 cos x – 1).

3°) Etudier le signe de f’(x) sur [0 ; π].
En déduire les variations de f et dresser son tableau de variations complet sur [-π ; π].

(le tracé de la courbe n’est pas demandé)

4°) Exprimer cos 2x en fonction de cos x et résoudre, sur [-π ; π], l’équation f(x) = 2.