Interro Spé n°4
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Mardi 5 avril 2011
 Term S

Interrogation de Spécialité Mathématiques (1h)
(Calculatrice autorisée)

 

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O ; ).

On considère la similitude indirecte f d’écriture complexe :       z′ = (1 + i)

 désigne le conjugué de z.

Soient les points A et B d’affixes respectives  zA =  + i  et  zB = – + i.

On note A′ et B′ les images respectives des points A et B par f.

 

La figure fournie avec le sujet, sera complétée et rendue avec la copie.

Les différentes constructions seront faites à la règle et au compas, et les traits de construction devront apparaître clairement.

 

1. a. Écrire les affixes des points A et B sous forme exponentielle.

b. Montrer que le triangle OAB est rectangle isocèle direct.

c. En déduire la nature du triangle OA′B′.

d. Montrer que l’affixe zA′ de A′ vérifie l’égalité : zA′ = 2 zA.

En déduire la construction de A′ et B′.

2. On note r la rotation de centre O et d’angle de mesure , et s la symétrie orthogonale d’axe (O ; ). On pose g = r s.

a. Déterminer l’écriture complexe de la transformation g.

b. Montrer que les points O et A sont invariants par g.

c. En déduire la nature de la transformation g.

3. a. Montrer que l’on peut écrire f = h g , où h est une homothétie de centre et de rapport à déterminer.

A

B

b. Sur la figure placée sur le sujet, un point C est placé. Faire la construction de l’image C′ de C par la transformation f.