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Mardi 1er mars 2011 
T°S2

DEVOIR de Mathématiques (2h)
(Calculatrice autorisée)

 

 

I/ Probabilités (9 points) d’après France septembre 2008

 

Dans une kermesse un organisateur de jeux dispose de 2 roues de 20 cases chacune.

bullet La roue A comporte 18 cases noires et 2 cases rouges.
bullet La roue B comporte 16 cases noires et 4 cases rouges.

Lors du lancer d’une roue toutes les cases ont la même probabilité d’être obtenues.

La règle du jeu est la suivante : Le joueur mise 1 € et lance la roue A.

bullet S’il obtient une case rouge, alors il lance la roue B, note la couleur de la case obtenue et la partie s’arrête.
bullet S’il obtient une case noire, alors il relance la roue A, note la couleur de la case obtenue et la partie s’arrête.

 

1°) Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.

 

2°) Soient E et F les évènements :

bullet E : « à l’issue de la partie, les 2 cases obtenues sont rouges »
bullet F : « à l’issue de la partie, une seule des deux cases est rouge ».

Montrer que p(E) = 0,02 et p(F) = 0,17.

 

3°) Si les 2 cases obtenues sont rouges le joueur reçoit 10 € ; si une seule des cases est rouge le joueur reçoit 2 € ; sinon il ne reçoit rien.

X désigne la variable aléatoire égale au gain algébrique en euros du joueur

(rappel le joueur mise 1 €).

a) Déterminer la loi de probabilité de X.

b) Calculer l’espérance mathématique de X et en donner une interprétation.

 

4°) Le joueur décide de jouer n parties consécutives et indépendantes (n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2)

a) Déterminer la probabilité pn qu’il lance au moins une fois la roue B.

b) Justifier que la suite de terme général pn est convergente et préciser sa limite.

c) Quelle est la plus petite valeur de l’entier n pour laquelle pn > 0,9 ?

 

 

 

II/ Fonction exponentielle (11 points) Amérique du Sud novembre 2008

 

1°) Résoudre l’équation différentielle :                    2y′ + y = 0   (E),

dont l’inconnue est une fonction définie et dérivable sur R.

 

2°) On considère l’équation différentielle :              2y′ + y = (x + 1)   (E′)

a) Déterminer deux réels m et p tels que la fonction f définie sur R par :

f(x) = (mx2 +px)   soit solution de (E′).

b) Soit g une fonction définie et dérivable sur R.

Montrer que g est solution de l’équation (E′) si et seulement si g f  est solution de l’équation (E).

Résoudre l’équation (E′).

 

3°) Étudier les variations de la fonction h définie sur R par :

h(x) = (x2 + 2x).

 

4°) Déterminer les limites en −∞ et en +∞ de la fonction h.

 

5°) Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O ; ), on note C la courbe représentative de h et G celle de la fonction : .

a) Étudier les positions relatives de C et G.

b) Tracer ces deux courbes sur un même graphique.