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Mardi 25 janvier 2011
 T°S2

DEVOIR de Mathématiques (2h)
(Calculatrice autorisée)

 

I/ Suites (5 points) France juin 2004

 On considère la suite (un) définie par :

  pour tout entier naturel n.

 1°) Etudier la monotonie de la suite (un).

2°)       a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, un > n2.

b) Quelle est la limite de la suite (un) ?

3°) Conjecturer une expression de un  en fonction de n, puis démontrer la propriété conjecturée.

 

II/ Suites et fonction exponentielle (11 points) d’après La Réunion juin 2004

 On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +¥[ par :

x

0

1

+¥

 

f(x)

1

 

0

1

 

            f(x) = 1 – x2 e 1 – x².

Son tableau de variation est le suivant :

   

Sa courbe représentative C et son asymptote D, d’équation y = 1, sont dessinés ci-dessous :

 

 

 

 

 

 

Partie A – Lecture graphique

 1°) k est un nombre réel donné. En utilisant la représentation graphique, préciser en fonction de k le nombre de solutions dans l’intervalle [0 ; +¥[ de l’équation f(x) = k.

2°) n étant un entier naturel non nul, déterminer les valeurs de n pour lesquelles l’équation f(x) =  admet deux solutions distinctes.

 Partie B – Définition et étude de deux suites

1°) Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Montrer que l’équation f(x) =  admet deux solutions un et vn, respectivement comprises dans les intervalles [0 ; 1] et [1 ; +¥[.

2°) Sur le graphique, construire sur l’axe des abscisses les réels un et vn pour n appartenant à l’ensemble {2 ; 3 ; 4}.

3°) Déterminer le sens de variation des suites (un) et (vn).

4°) Montrer que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.

Procéder de même pour la suite (vn).

En déduire que les suites (un) et (vn) sont adjacentes

 Partie C – Justification du tableau de variation

 1°) Justifier la limite de f en +¥.

2°) Déterminer f’(x) sur [0 ; +¥[.

3°) Justifier les variations de f sur [0 ; +¥[.

 

 

III/ Primitive et fonction exponentielle (4 points)

Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = x2 ex.

1°) Déterminer les réels a, b, c tels que la fonction F définie sur R par :

F(x) = (ax2 + bx + c) ex

soit une primitive de f sur R.

2°) Déterminer la primitive de f sur R qui s’annule en 0.