Devoir n°5
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Mardi 4 janvier 2011 
  T°S2

DEVOIR de Mathématiques (2h)
(Calculatrice autorisée)

 

I/ Complexes (10 points)

 1°) Dans cette question, il est demandé au candidat d’exposer des connaissances.
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct .
Soit R la rotation du plan de centre Ω d’affixe
w et d’angle de mesure . L’image par R d’un point du plan est donc définie de la manière suivante :
- R(Ω) = Ω ;
- pour tout point M du plan, distinct de Ω, l’image M’ de M est définie par :
                                    ΩM’ = ΩM et .
On rappelle que, pour des points A et B d’affixes respectives a et b,
                                   AB =  et ) = .

Question : Montrer que les affixes z et z’  d’un point quelconque M du plan et de son image M’ par la rotation R  sont liées par la relation :
                                               z’ –
w = ei(z - w).
2°) On considère les points I et B d’affixes respectives zI = 1 + i et zB = 2 + 2i. Soit R la rotation de centre B et d’angle de mesure .
a) Donner l’écriture complexe de R.
b) Soit A l’image de I par R. Calculer l’affixe zA de A.
c) Montrer que O, A et B sont sur un même cercle de centre I.
En déduire que OAB est un triangle rectangle en A. Donner une mesure de l’angle .
d) En déduire une mesure de l’angle .
3°) Soit T la translation de vecteur. On pose A’ = T(A).
a) Calculer l’affixe zA’ de A’.

b) Quelle est la nature du quadrilatère OIAA’ ?

c) Montrer que  est un argument de zA’.

 

II/ Complexes (bis) (8 points)

 Soit f l’application de C\{i} dans C définie par :

A tout point M du plan complexe d’affixe z ¹ i on associe le point M’ d’affixe z’ tels que :         z’ = f(z

On note :   (E1) l’ensemble des points M tels que : | z’ | = 1.

                 (E2) l’ensemble des points M tels que : z’ soit réel.

Le but de l’exercice est de déterminer ces ensembles de points par deux méthodes différentes

Zone de Texte: Le but de l’exercice est de déterminer ces ensembles de points par deux méthodes différentes
                 (E3) l’ensemble des points M tels que : z’ soit imaginaire pur.

Partie A – Méthode algébrique.

Soient x, y, x’, y’ les réels tels que z = x + iy  et  z’ = x’ + iy’.

1°) a) Exprimer  | iz + 3 |  et  | zi |  en fonction de x et de y.

b) En déduire une équation cartésienne et la nature de l’ensemble (E1).

2°) a) Exprimer x’ et y’ en fonction de x et de y.

b) En déduire une équation cartésienne des ensembles (E2) et (E3).

c) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de (E2) et (E3).

 Partie B – Méthode géométrique.

Soient A et B les points d’affixes respectives zA = 3i et zB = i.

1°) Interpréter géométriquement : | z’ | en fonction de A, B et M.

2°) Interpréter géométriquement : arg( z’) en fonction de A, B et M.

3°) Retrouver par une méthode géométrique la nature et les éléments caractéristiques de (E1), (E2) et (E3) obtenus dans la partie A.

  

III/ Fonctions (2 points)

 Soit f la fonction définie par : f(x) =  sur ]-¥ ; ½[.

1°) Déterminer a et b tels que f(x) =  sur ]-¥ ; ½[.

2°) En déduire la primitive de f qui s’annule en 0.