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Mardi 28 septembre 2010.                                                                                                              T°S

DEVOIR de Mathématiques (1h50)
(Calculatrice autorisée)

 

 

I/ Etude d’une fonction. (7,5 pts) 

Soit f la fonction définie sur R* par : f(x) = x – 2 +

On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormal (le tracé n’est pas demandé) 

1°) Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. 

2°) Déterminer les équations des deux asymptotes à la courbe Cf et la position de Cf par rapport à son asymptote oblique (D). 

3°) Déterminer une expression de la fonction dérivée f’ de f. 

4°) Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout réel x : x3 + x – 2 = (x – 1)(ax2 + bx + c).

En déduire le signe de f’ puis les variations de f et dresser son tableau de variations complet. 

5°) Déterminer les points de la courbe Cf en lesquels la tangente à la courbe Cf est parallèle à la droite (D) d’équation  y = x – 2. 

 

II/ Un peu de Trigonométrie. (4 pts) 

1°) Résoudre dans R puis dans ]-p ; p] l’équation :       tan2 x = tan x

2°) Démontrer que pour tout xÎR\ on a :        

  

III/ Encore un peu de Trigonométrie. (8,5 pts) 

Soit f la fonction définie sur R par :

On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormal. 

1°) Démontrer que f est périodique de période 2p.

2°) Etudier la parité de f.

3°) Démontrer que la courbe Cf est symétrique par rapport à la droite D : x = p/2.

4°) En déduire que l’on peut réduire l’intervalle d’étude à l’intervalle I = [0 ; p/2]

et expliquer comment l’on obtient alors la courbe Cf complète.

5°) Démontrer que f’(x) est du signe de  (1 – 2cos2x) cos x  sur R.

6°) Résoudre l’inéquation : 1 – 2 cos2 x ³ 0 sur [0 ; p/2].

En déduire les variations de f sur I puis dresser son tableau de variations complet sur I.

7°) Déterminer une équation de la tangente à Cf au point d’abscisse 0.

8°) Tracer la courbe Cf sur [-2p ; 2p].