DEVOIR n°6
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Vendredi 28 mars 2008
 T°S

Devoir de Mathématiques (2 h)
(Calculatrice autorisée)

Exercice 1 (8 points)

On lance un dé tétraédrique dont les quatre faces portent les nombres 1, 2, 3 et 4.

On lit le nombre sur la face cachée.

Pour kÎ {1 ; 2 ; 3 ; 4}, on note pk la probabilité d’obtenir le nombre k sur la face cachée.

Le dé est déséquilibré de telle sorte que les nombres p1, p2, p3 et p4 dans cet ordre, forment une progression arithmétique.

1°) Sachant que p4 = 0,4 démontrer que p1 = 0,1 , p2 = 0,2 et p3 = 0,3.

2°) On lance le dé trois fois de suite. On suppose que les lancers sont deux à deux indépendants.

  1. Quelle est la probabilité d’obtenir dans l’ordre les nombres 1, 2, 4 ?
  2. Quelle est la probabilité d’obtenir trois nombres distincts rangés dans l’ordre croissant ?

3°) On lance 10 fois de suite le dé. On suppose les lancers deux à deux indépendants. On note X la variable aléatoire qui décompte le nombre de fois où le chiffre 4 est obtenu.

  1. Pour 1 £ i £ 10, exprimer en fonction de i la probabilité de l’événement (X = i).
  2. Calculer l’espérance mathématique de X. Interpréter le résultat obtenu.
  3. Calculer la probabilité de l’événement (X ³ 1). On donnera une valeur arrondie au millième.

4°) Soit n un entier naturel non nul. On lance n fois le dé, les lancers étant encore supposés indépendants deux à deux.

On note Un la probabilité d’obtenir pour la première fois le nombre 4 au n-ième lancer.

  1. Montrer que (Un) est une suite géométrique et qu’elle est convergente.
  2. Calculer Sn = puis étudier la convergence de la suite (Sn).
  3. Déterminer le plus petit entier n tel que Sn > 0,999.

 

Exercice 2 (12 points)

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x + ln 4 + et (C) sa représentation graphique dans un repère du plan.

1°) Déterminer la limite de f en +¥ , et sa limite en -¥ .

2°) Calculer, pour tout réel x, f(x) + f(-x).

Que peut-on en déduire pour le point A(0 ; 1 + ln 4) ?

3°) Etudier le sens de variation de la fonction f et dresser son tableau de variations.

4°) a) Justifier que, pour tout réel m, l’équation f(x) = m admet une solution unique dans R.

b) Déterminer un encadrement d’amplitude 10-1 de la solution a de l’équation f(x) = 3. Justifier la réponse.

c) Pour quelle valeur de m le nombre -a est-il la solution de l’équation f(x) = m ?

5°) a) Montrer que pour tout réel x, f(x) = x + 2 + ln 4 – .

b) Montre que la droite (D ) d’équation y = x + ln 4 et la droite (D ’) d’équation y = x + 2 + ln 4 sont des asymptotes à la courbe (C).

Etudier la position de la courbe (C) par rapport à son asymptote (D ).

6°) a) On considère un réel positif a .

Que représente l’intégrale :  ?

b) Montrer que (on pourra utiliser le résultat de la question 5.a).

c) Calculer a pour que I(a ) = 1, puis donner une valeur approchée de a à 10-1 près.