DEVOIR n°3
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Vendredi 19 octobre 2007

DEVOIR de Mathématiques (4 h.)
(Calculatrice autorisée)

I/ Arithmétique. (5 points) (Pour les élèves ayant choisi la spécialité Mathématiques)

Partie A

Soit N un entier naturel, impair non premier.

On suppose que N = a2b2a et b sont deux entiers naturels.

1°) Montrer que a et b n’ont pas la même parité.

2°) Montrer que N peut s’écrire comme produit de deux entiers naturels p et q.

3°) Quelle est la parité de p et de q ?

Partie B

On admet que 250 507 n’est pas premier.

On se propose de chercher des couples d’entiers naturels (a; b) vérifiant la relation :

(E) : a2 – 250 507 = b2.

1°) Soit X un entier naturel.

  1. Donner dans un tableau, les restes possibles de X modulo 9 ; puis ceux de X2 modulo 9.
  2. Sachant que a2 – 250 507 = b2, déterminer les restes possibles modulo 9 de a2 – 250 507 ; en déduire les restes possibles modulo 9 de a2.
  3. Montrer que les restes possibles modulo 9 de a sont 1 et 8.

2°) Justifier que si le couple (a; b) vérifie la relation (E), alors a ³ 501.

Montrer qu’il n’existe pas de solution du type (501; b).

3°) On suppose que le couple (a; b) vérifie la relation (E).

  1. Démontrer que a est congru à 503 ou 505 modulo 9.
  2. Déterminer le plus petit entier naturel k tel que le couple (505 + 9k; b) soit solution de (E), puis donner le couple solution correspondant.

Partie C

1°) Déduire des parties précédentes une écriture de 250 507 en un produit de deux facteurs.

2°) Les deux facteurs sont-ils premiers entre eux ?

3°) Cette écriture est-elle unique ?

 

I/ Complexes. (5 points) (Pour les élèves n’ayant pas choisi la spécialité Mathématiques)

Soit P(z) = z3 – 2( + i) z2 + 4(1 +i) z – 8i.

1°) Calculer P(1 + i).

2°) Démontrer que P(z) admet une unique racine imaginaire pure que l’on déterminera.

3°) Déterminer les réels a, b et c tels que : P(z) = (z – 2i)(az2 + bz + c) pour tout complexe z.

4°) Résoudre dans C l’équation : z2 – 2z + 4 = 0.

En déduire les solutions de l’équation P(z) = 0 dans C.

5°) Soient A, B, C les points d’affixes respectives zA = i, zB = et zC = 2i.

  1. Faire une figure. Démontrer que A, B et C sont sur un même cercle de centre O.
  2. Calculer zBzA et zBzC, en déduire que le quadrilatère OABC est un losange.

 

II/ Complexes. (5 points)

A tout complexe z ¹ -i on associe le complexe z’ tel que : .

1°) Calculer z’ pour z = i.

2°) Déterminer z tel que z’ = 2.

3°) Soit z = x + iy, xÎ R et yÎ R et z’ = x’ + iy’, x’Î R et y’Î R.

Démontrer que : et

4°) Déterminer l’ensemble (E1) des points M d’affixe z tels que z’ soit réel.

5°) Déterminer l’ensemble (E2) des points M d’affixe z tels que z’ soit imaginaire pur.

6°) Soit A d’affixe a = -2i et B d’affixe b = -i.

  1. Interpréter géométriquement | z’ |
  2. En déduire l’ensemble (E3) des points M d’affixe z tels que | z’ | = 1.

 

III/ Étude de fonctions. (5 points)

Partie A.

Soit g la fonction définie sur R par : g(x) =14x3 + 3x2 – 2.

1°) Étudier les limites et les variations de g sur R. (On ne demande pas le tracé de la courbe)

2°) Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet, sur R, une unique solution a dont on donnera une valeur approchée à 10-2 près.

3°) En déduire le signe de g sur R.

Partie B.

Soit f la fonction définie sur par : .

1°) Déterminer la limite de f en +¥ .

2°) Étudier la dérivabilité de f.

3°) Démontrer que f’(x) a le même signe que g(x) sur .

En déduire les variations de f et dresser son tableau de variations complet.

4°) Tracer la courbe Cf représentative de f dans un repère orthonormal.

 

IV/ Extraits du concours d’entrée à l’ESIEE (5 points)

L’exercice comporte 5 parties indépendantes, chaque partie comportant 5 affirmations. Vous devez indiquer pour chacune d’elles si elle est vraie (V) ou fausse (F).

Toute réponse exacte rapporte 2 dixièmes de point, une réponse inexacte entraîne le retrait d’un dixième de point et l’absence de réponse ne rapporte ni ne retire aucun point.

 

Partie 1

Soit f la fonction définie sur par : f(x) = sin2x cos 2x.

  1. Pour tout xÎ , f(x) ³ 0.
  2. Pour tout xÎ , f’(x) = sin 2x (1 – 4sin2x).
  3. f est décroissante sur .
  4. f est décroissante sur .
  5. Pour tout xÎ , f(x) £

Partie 2

Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = x6 – 2x3 + 1.

  1. L’équation f(x) = 0 admet une unique solution dans R..
  2. L’équation f(x) = 1 admet exactement deux solutions distinctes dans [-1 ; +¥ [..
  3. Si xÎ [-1 ; 1] alors f(x) £ 4.
  4. Pour tout xÎ R, si f(x) £ 4 alors xÎ [-1 ; 1].
  5. Pour tout xÎ R, f(x) £ 4 équivaut à xÎ [-1 ; 1].

 

Partie 3

Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur R\{1} dont le tableau de variations est :

(les flèches obliques traduisent une monotonie stricte)

  1. f peut être une fonction paire.
  2. Nécessairement f’(0) £ 0.
  3. L’équation f(x) = 2 admet au plus deux solutions distinctes positives.
  4. L’équation f(x) = 2 admet exactement quatre solutions distinctes.
  5. L’équation f(x) = x admet au moins deux solutions distinctes.

Partie 4

Soit f la fonction définie sur [-4 ; 4] par :

On note (C) la courbe de f dans un repère orthonormal.

  1. .
  2. f est dérivable en x = –2.
  3. (C) admet deux tangentes horizontales.
  4. La tangente à (C) au point d’abscisse x = –1 a un unique point d’intersection avec (C).
  5. La tangente à (C) au point d’abscisse x = 1 a un unique point d’intersection avec (C).

 

Partie 5

Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur R. On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal. a, b, c et d sont des réels non nuls.

(T1) la droite d’équation y = ax + b est tangente à (C) au point d’abscisse x = 1.

(T2) la droite d’équation y = cx + d est tangente à (C) au point d’abscisse x = –1.

  1. Si f est paire alors a = -c.
  2. Si a = c alors f est impaire.
  3. Si f est paire alors b = d.
  4. Si b = d alors f(1) = f(–1).
  5. Si ac <0 alors il existe xÎ [–1 ; 1] tel que f’(x) = 0.