Bac Blanc 1
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Janvier 2008
 Term S

Bac Blanc de Mathématiques (4 h)
(Calculatrice autorisée)

Exercice 1 (5 points)

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; ).

On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure.

Soit f l’application qui, à tout point M de P d’affixe non nulle z, associe le point M’ d’affixe : .

1°) Soit E le point d’affixe zE = -i. Déterminer l’affixe du point E’, image de E par f.

2°) Déterminer l’ensemble des points M tels que M’ = M.

3°) On note A et B les points d’affixes respectives 1 et -1.

Soit M un point distinct des points O, A et B.

  1. Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de 0, 1 et -1, on a : .
  2. En déduire une expression de en fonction de , puis une expression de l’angle en fonction de l’angle

4°) Soit D la médiatrice du segment [AB]. Montrer que si M est un point de D distinct du point O, alors M’ est un point de D .

5°) Soit G le cercle de diamètre [AB].

  1. Montrer que si le point M appartient à G alors le point M’ appartient à la droite (AB)
  2. Tout point de la droite (AB) a-t-il un antécédent par ?

 

Exercice 2 (5 points) Elèves suivant l’enseignement de spécialité Sc. Phys. ou S.V.T.

On considère les deux suites (un) et (vn) définies, pour tout entier naturel n, par :

u0 = 3 et un+1 =  ; v0 = 4 et vn+1 = .

1°) Calculer u1, v1, u2 et v2.

2°) Soit la suite (wn) définie, pour tout entier naturel n, par :

wn = vnun.

a) Montrer que la suite (wn) est une suite géométrique de raison .

b) Exprimer wn en fonction de n et préciser la limite de la suite (wn).

3°) Après avoir étudié le sens de variation des suites (un) et (vn), démontrer que ces suites sont adjacentes. Que peut-on en déduire ?

4°) On considère à présent la suite (tn) définie, pour tout entier naturel n, par :

tn = .

a) Démontrer que la suite (tn) est constante.

b) En déduire la limite des suites (un) et (vn).

Exercice 2 (5 points) Elèves suivant l’enseignement de spécialité Mathématiques.

1°) Calculer le PGCD de 45 – 1 et de 46 – 1.

Soit u la suite numérique définie par :

u0 = 0, u1 = 1

et, pour tout entier naturel n, un+2 = 5un+1 – 4un.

2°) Calculer les termes u2, u3 et u4 de la suite u.

3°) a) Montrer que la suite u vérifie, pour tout entier naturel n, un+1 = 4un + 1.

b) que la suite u vérifie, pour tout entier naturel n, un est un entier naturel.

c) En déduire, pour tout entier naturel n, le PGCD de un et un+1.

4°) Soit v la suite définie pour tout entier naturel n par : vn = un + .

a) Montrer que v est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme v0.

b) Exprimer vn puis un en fonction de n.

c) Déterminer, pour tout entier naturel n, le PGCD de 4n+1 – 1 et de 4n – 1.

 

Exercice 3 (7 points)

On considère la fonction f définie sur R par : .

On note (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthogonal (O ; ), l’unité graphique est 2 cm sur l’axe des abscisses et 5 cm sur l’axe des ordonnées.

Partie A

Soit g la fonction définie sur R par :

g(x) = exx – 1.

1°) Etudier les variations de la fonction g sur R. En déduire le signe de g(x).

2°) Justifier que, pour tout x, (exx) est strictement positif.

Partie B - Restitution organisée des connaissances.

En utilisant les résultats de la partie A, étudier les variations puis le signe de la fonction h définie sur

[0 ; +¥ [ par : h(x) = ex.

En déduire une démonstration de la formule du cours :

Partie C

1°) a) Calculer les limites de la fonction f en +¥ et en –¥ .

b) Interpréter graphiquement les résultats précédents.

2°) a) Calculer f’(x), f’ désignant la fonction dérivée de f.

b) Etudier le sens de variations de f, puis dresser son tableau de variations.

3°) a) Déterminer un équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d’abscisse 0.

b) A l’aide de la partie A, étudier la position de la courbe (C) par rapport à la droite (T).

4°) Tracer la droite (T), les asymptotes et la courbe (C).

 

Exercice 4 (3 points)

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer l’unique bonne réponse.

bulletPremière proposition

Une primitive de f définie sur R par : f(x) = peut être définie sur R par :

a) F(x) = b) F(x) = c) F(x) = d) F(x) =

bulletDeuxième proposition

La solution de l’équation différentielle y’ + 3y = 0 vérifiant y(1) = 2 est la fonction définie sur R par :

a) f(x) = 2e–3x b) f(x) = 2e-3e3x c) f(x) = e–3x + 2 d) f(x) = 2e3(1 – x)

 

bulletTroisième proposition

Les solutions de l’équation différentielle y’ = 2yx2 sont les fonctions définies sur R par :

a) f(x) = Ae2x + b) f(x) = Ae2x + c) f(x) = Ae2x + d) f(x) = Ae2x