DEVOIR n°9
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Mardi 16 mai 2006
 Term S1-3

Devoir de Mathématiques (2h)
(Calculatrice autorisée)

Exercice 1 (10 points)

Soit ABCD un tétraèdre tel que (AB) et (CD) soient orthogonales et BC = BD.

On note A’ le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ACD

Partie A

1°) a) Démontrer que (CD) est perpendiculaire au plan (ABA’).

b) Que représente (BA’) dans le triangle BCD ?

Que peut-on en déduire pour A’ ?

c) En déduire la nature du triangle ACD et du plan (ABA’).

2°) Démontrer que :

3°) Soit G le barycentre du système de points pondérés {(A ; -1) ; (B ; 2) ; (C ; 1) ; (D ; 1)}

  1. Démontrer que G appartient au plan (ABA’) et préciser les coordonnées du point G dans le repère .
  2. Caractériser l’ensemble (E) des points M de l’espace tels que :
    avec kÎ R
  3. Caractériser l’ensemble (F) des points M de l’espace tels que :

Partie B

Soit un repère orthonormal de l’espace (unité graphique : 1 cm). On donne les points : A(1 ; 3 ; -2), B(1 ; 1 ; 0), C(4 ; 0 ; -2) et D(2 ;  ; 2).

1°) a) Déterminer le réel a pour que le tétraèdre ABCD vérifie les données de l’exercice.

b) Déterminer les coordonnées de A’ milieu de [CD].

2°) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABA’).

3°) Déterminer la distance du point C au plan (ABA’).

4°) a) Calculer la valeur de cos ABA’ et en déduire la valeur de sin ABA’.

b) En déduire l’aire du triangle ABA’.

5°) Calculer le volume du tétraèdre AA’BC et en déduire le volume du tétraèdre ABCD.

6°) a) Déterminer les coordonnées du point G dans le repère (Partie A 3°)

b) Déterminer une équation cartésienne de l’ensemble (F). (Partie A 3°c)

 

 

Exercice 2 (5 points)

1°) Soit x un réel positif, calculer I(x) =

2°) Soit P une loi de probabilité sur [0 ;+ ¥ [ de densité f définie par f(t) = l t e-t², avec l Î R.

  1. Déterminer l .
  2. Calculer P([0 ;1]).
  3. On note X la variable aléatoire associée à la probabilité P,
    déterminer le réel x0 tel que P(X > x0) =

 

Exercice 3 (5 points)

1°) Calculer I = à l’aide d’une intégration par parties.

2°) Soit la fonction définie sur par : f(x) = dont la courbe (Cf) est représentée ci-contre dans le plan P muni du repère orthonormal (O ;  :

On considère le solide engendré par la rotation autour de l’axe (O ; de la surface délimitée dans le plan P par l’axe (O ; , la droite d’équation x = et la courbe (Cf).

Sachant que l’unité graphique est de 2 cm, calculer le volume V du solide en cm3.