DEVOIR n°7
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Mardi 14 mars 2006
 Term S1-3

DEVOIR de Mathématiques (2h)
(Calculatrice autorisée)

 

Exercice 1 (13 points)

Soit f la fonction définie par : f(x) = (x + 1) ln |x – 3|. Soit (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O ;), unités : 1 cm.

1°) Préciser l’ensemble de définition Df de f.

2°) Déterminer les limites de f aux bornes de Df et en déduire une asymptote verticale à (Cf).

3°) a) Justifier que f est dérivable sur Df et calculer f’(x).

  1. Justifier que f’ est dérivable sur Df et que .
    En déduire les variations de la fonction f’.
  2. Démontrer que l’équation f’(x) = 0 admet une unique solution a sur Df et que a » 0,8.
  3. En déduire le signe de f’ sur Df.

4°) Déterminer les variations de f et dresser son tableau de variations complet.

5°) Tracer la courbe (Cf)

6°) a) Soit g la fonction définie sur [–1 ; 2] par :
g(x) = ( x2 + 2x – 15) ln |x – 3|.

Calculer g’(x). (on remarquera que : x2 + 2x – 15 = (x – 3)(x + 5))

b) En déduire une primitive de f sur [–1 ; 2].

c) Déterminer l’aire en cm2 de la partie du plan comprise entre la courbe (Cf), l’axe des abscisses, et les droites d’équations x = –1 et x = 2.

 

Exercice 2 (7 points)

On dispose d’un cube en bois de 3 cm d’arête, peint en jaune.

On le découpe, parallèlement aux faces, en 27 cubes de 1 cm d’arête.

On place ces 27 cubes dans un sac.

Partie I

On tire au hasard l’un des 27 cubes du sac.

On suppose que les tirages sont équiprobables.

Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de faces peintes sur le cube tiré.

1°) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

2°) Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X.

Partie II

On tire maintenant, au hasard, simultanément deux des 27 cubes du sac. On suppose que les tirages sont équiprobables.

1°) Montrer que la probabilité d’avoir, au total, six faces peintes est égale à .

2°) On désigne par n un nombre naturel non nul ; après avoir noté le nombre de faces coloriées sur les deux premiers cubes tirés ; on les remet dans le sac et on recommence l’opération de manière à effectuer n tirages successifs et indépendants de deux cubes.

  1. Calculer la probabilité pn pour que l’on obtienne, au total, 6n faces peintes.
  2. Déterminer la plus petites valeur de n pour que pn soit inférieur à 10-12.

Les résultats des calculs de probabilités seront donnés sous forme fractionnaire.