DEVOIR n°6
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Mardi 21 février 2006
 Term S

DEVOIR de Mathématiques (3h)
(Calculatrice autorisée)

 

Exercice 1 (6 points)

Dans un magasin se trouve un bac avec des stylos-feutres et des stylos à bille, bleus ou noirs.

On sait qu’il y a 40% de stylos-feutres parmi lesquels 10% sont bleus et qu’il y a dans le bac 15% de stylos à bille noirs.

On choisit aléatoirement un stylo dans le bac et on note :

bulletF l’événement : " le stylo choisi est un stylo-feutre "
bulletB l’événement : " le stylo choisi est un stylo bleu "

Remarque : dans cet exercice, tous les résultats seront donnés sous forme décimale à 10-2 près.

Partie A

1°) Déterminer les probabilités suivantes : p(F), pF(B) et .

2°) Calculer et , en déduire .

3°) Montrer que la probabilité de choisir un stylo bleu est égale à 0,49.

4°) On a choisi un stylo bleu, quelle est la probabilité que ce soit un stylo à bille ?

Partie B

Le gérant du magasin recompte tous les stylos du bac et trouve finalement :

bullet8 stylos feutres noirs à 0,40 € l’un.
bullet72 stylos feutres bleus à 0,40 € l’un.
bullet90 stylos- à bille noirs à 0,70 € l’un.
bullet30 stylos- à bille bleus à 0,50 € l’un.

Soit X la variable aléatoire égale au prix du stylo choisi dans le bac.

1°) Déterminer la loi de probabilité de X.

2°) Calculer l’espérance mathématique et l’écart-type de la variable aléatoire X.

 

 

Exercice 2 (8 points)

Soit f la fonction définie sur ] 0 ; +¥ [ par : f(x) = (x2 + 1 – ln x)

On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal. (unité graphique : 2 cm)

1°) On considère la fonction g définie sur ]0 ; +¥ [ g(x) = x2 – 2 + ln x.

  1. Etudier les variations de g et démontrer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution a telle que : 1,31 < a < 1,32.
  2. En déduire le signe de g sur ]0 ; +¥ [.

2°) a) Calculer les limites de f en 0 et en +¥ .

  1. En utilisant les résultats du 1°), étudier le sens de variation de f sur ]0 ; +¥ [ et dresser son tableau de variation.

3°) a) Démontrer que la droite (D) d’équation y = x est asymptote à C

en +¥ .

  1. Etudier la position de (C) par rapport à (D).

4°) a) Démontrer que f(a ) = 2a.

  1. En utilisant l’encadrement de a , en déduire un encadrement de f(a ).

5°) a) Déterminer l’abscisse b du point de (C) où la tangente à la courbe est parallèle à (D). Calculer une valeur approchée à 10-2 près de f(b ) – b .

  1. Tracer la courbe (C).

 

 

Exercice 3 (6 points)

Une balle de 0,5 kg est lancée verticalement en l’air avec une vitesse initiale de 15m.s-1.

Sur la balle agissent deux forces, celle due à la gravité et celle due à la résistance de l’air, égale à 1/10 de sa vitesse.

On admet que la vitesse v vérifie l’équation différentielle :

(E) : 0,5v’ = – 0,1v – 5.

Partie A

1°) a) Résoudre l’équation différentielle (E) dans [0 ; +¥ [.

b) Justifier que v(0) = 15, en déduire que v(t) = –50 + 65e–0,2t.

c) Résoudre l’inéquation : v(t) ³ 0 sur [0 ; +¥ [.

2°) Soit h la fonction qui exprime la hauteur de la balle en fonction du temps, on a donc : h’ = v.

  1. Déterminer les primitives de v sur [0 ; +¥ [.
  2. Justifier que h(0) = 0, en déduire l’expression de h.

Partie B

Soit f la fonction définie sur [0 ; +¥ [ par : f(t) = 325(1 – e–0,2t) – 50t.

1°) Etudier les variations de f (on pourra utiliser le résultat du A-1-c)

2°) Démontrer que l’équation f(t) = 0 admet une unique solution sur ]0 ; +¥ [ dont on donnera une valeur approchée a à 10-1 près.

3°) En déduire une valeur approchée de la hauteur maximale atteinte par la balle et du temps t1 que met la balle pour revenir au sol depuis son point le plus haut.