DEVOIR n°5
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Mercredi 25 janvier 2006
 Term S

DEVOIR de Mathématiques (2h)
(Calculatrice autorisée)

 

Exercice 1 (6 points)

Partie A – Une équation différentielle

On considère l’équation différentielle :

(E) – 3y =

On donne une fonction j dérivable sur R et la fonction f définie sur R par : f(x) = e–3xj (x).

1°) Montrer que f est dérivable sur R

et pour tout réel x, exprimer j ’(x) – 3j (x) en fonction de (x).

2°) Déterminer f de sorte que j soit solution de (E) sur R

et vérifie j (0) = .

Partie B – Etude d’une fonction

Soit f définie sur R par :

.

On désigne par C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm.

1°) Déterminer les limites de f en –¥ et en +¥ , puis étudier les variations de f.

2°) Tracer C.

Exercice 2 (6 points)

Pour chaque affirmation, une seule réponse est exacte. Chaque réponse juste rapporte 1 point. Une absence de réponse n’est pas sanctionnée. Il sera retiré 0,5 point par réponse fausse. On ne demande pas de justifier. La note finale de l’exercice ne peut être inférieure à zéro.

1°) On pose

Œ La forme algébrique de z2 est :

a) 2   b) 2– 2i   c) 2 ++ i(2 –)   d) 2+ 2i

 z2 s’écrit sous forme exponentielle :

a)    b)    c)    d)

2°) On pose , et

Œ z3 s’écrit sous forme exponentielle :

a)    b)    c)    d)

 et sont les cosinus et sinus de :

a)    b)    c)    d)

3°) Soit f la transformation du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe = iz + 2

Œ f admet un point invariant d’affixe :

a) i + 2   b) 1 + i   c) i   d) 2

 La transformation f est :

a) une homothétie   b) une symétrie centrale

c) une translation   d) une rotation

Exercice 3 (8 points)

On considère les suites (un) et (vn) définies sur N par u0 = 3 et pour tout n de N :

et

1°) Calculer v0, u1, v1, u2 et v2.

Comparer les valeurs approchées de u2 et v2.

2°) En utilisant une démonstration par récurrence, démontrer que, pour tout n de N, un et vn sont tous deux strictement positifs.

3°) Démontrer que, pour tout n de N, on a :

 .

En déduire que pour tout n de N on a : un – vn ³ 0.

4°) Démontrer que la suite (un) est décroissante puis que la suite (vn) est croissante.

5°) a) Justifier que pour tout n de N on a : un ³ .

  1. Démontrer que pour tout n de N on a :

    avec k =

  2. En déduire, par récurrence, que pour tout n de N on a : .

6°) a) En déduire que les suites (un) et (vn) sont adjacentes.

b) Résoudre l’équation dans ]0 ; +¥ [ et en déduire la limite des suites (un) et (vn).