DEVOIR n°4
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Mardi 22 novembre 2005
 Term S1-3

DEVOIR de Mathématiques (3h)
(Calculatrice autorisée)

 

Exercice 1 (6 points)

Soit u la suite définie par : u0 = 12 et un+1 = 3 + un pour tout nÎ N.

1°) Tracer dans un repère orthonormal (unité graphique : 1 cm) les droites D et D d’équations respectives : y = x + 3 et y = x. En déduire une construction des 3 premiers termes de la suite u

(Expliquer cette construction)

2°) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 4 £ un £ 12.

3°) Etudier la monotonie de u.

4°) Soit v la suite définie par : vn = un – 4 pour tout nÎ N.

  1. Démontrer que v est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.
  2. Déterminer une expression de vn en fonction de n et en déduire celle de un en fonction de n.
  3. Justifier que la suite v est convergente et en déduire la convergence de la suite u.

5°) Soit S la suite définie par : Sn = u0 + u1 + … + un pour tout nÎ N.

  1. Déterminer une expression de Sn en fonction de n.
  2. Etudier la convergence de la suite S.

 

Exercice 2 (5,5 points)

Partie A

Soit un triangle ABC.

On note I le milieu de [AB], D le point tel que et E le point tel que .

1°) Faire une figure.

2°) Justifier que D est l’image de C par une translation dont on précisera le vecteur et que E est l’image de C par une homothétie de centre B dont on déterminera le rapport.

3°) Exprimer et en fonctions de et .

4°) En déduire que I, D et E sont alignés.

Partie B

Dans le plan complexe, soit A d’affixe zA = –3 + i, B d’affixe zB = 2 + i et C d’affixe zC = 4i.

On note I le milieu de [AB], D l’image de C par la translation de vecteur et E l’image de C par l’homothétie de centre B et de rapport .

1°) Faire une figure.

2°) Déterminer les affixes zI, zD et zE des points I, D et E.

3°) a) Calculer .

  1. En déduire que les points I, D et E sont alignés.
  2. Démontrer que E est l’image de D par une homothétie de centre I dont on déterminera le rapport.

 

Exercice 3 (8,5 points)

Partie A

Soit g la fonction définie sur [0 ; +¥ [ par : g(x) = x2 (x + 2).

1°) Etudier les variations de g sur [0 ; +¥ [.

2°) Démontrer que l’équation g(x) = 4 admet, sur [0 ; +¥ [, une unique solution a dont on donnera une valeur approchée à 10-2.

3°) En déduire la résolution de l’inéquation g(x) > 4 sur [0 ; +¥ [.

Partie B

Soit f la fonction définie sur R\{0} par : et (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité 1 cm).

1°) Etudier la parité de f.

2°) Déterminer et , en déduire et .

Peut-on en déduire une ou plusieurs droites asymptotes à la courbe (Cf) ?

3°) Démontrer que la droite (D) d’équation y = x + 1 est asymptote à la courbe (Cf) en +¥ , en déduire l’équation d’une droite asymptote à (Cf) en -¥ .

4°) a) Démontrer que f est dérivable sur les intervalles ]–¥  ; 0[ et ]0 ; +¥ [ puis que :

.

  1. Déduire de la partie A que f’(x) > 0 sur ] ;+ ¥ [.
  2. En déduire les variations de f sur ]0 ; +¥ [ puis sur R\{0}.
    Dresser le tableau de variations complet de f sur R\{0}.

5°) Déterminer une équation de la tangente (T) à (Cf) au point d’abscisse .

6°) Tracer la courbe (Cf) en s’aidant de tous les renseignements obtenus précédemment.